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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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课堂教学实例:均值不等式的遐想(下)

【例 15】已知a、b、c都为正数,且a+b+c=1,求证(1–a)(1–b)(1–c) ≥ 8abc。

由于这里讨论的是性格与思维方式的缺陷问题,为了避免叙述上不必要的麻烦,我只得假设你拥有我所提到的一切缺陷,你会犯我说到的一切错误,而我本人已意识到你的这些缺陷与错误,于是便像得道高僧一样劝说你:“施主,悬崖勒马,回头是岸!善哉!善哉!”

你说:“要证明(1–a)(1–b)(1–c)≥8abc,不是可以用均值不等式吗?首先,将方程左边的乘法变成加法,可能就会出现–(a+b+c),然后已知中不是有a+b+c=1吗?这样就可以代入了!用均值不等式试一试。但……但是这里有点问题,求证中的不等号是‘≥’,但在(1–a)(1–b)(1–c) ≤ [(1 – a + 1 – b + 1 – c) / 3]3中的不等号却是‘≤’。怎么办呢?怎么办呢?现在该怎么办呢?……脑袋已严重发热,思维渐渐趋于静止。今天看来是不行了,明天再说吧!”

你在这里已暴露出了一种很糟糕的性格与思维方式,那就是缺乏一种否定自己的勇气与能力。否定自己是很难的,因为不否定自己是大部分没有在否定自己这方面锻炼自己的人共有的心理特征。人通常都是有自尊与自信的,很难设想一个生下来就老否定自己的人的神经没有毛病。人通常处于一种心理状态,而不会去想改变这种心理状态(否则你在浪费时间的状态里就可以否定自己的这一状态,把时间挽救回来)。当被数学问题搞得晕头转向时更是如此。你为什么不能否定自己,换一个思考方向呢?

“你说这么一大堆,不就是叫我换一个思路吗?那好吧,我试着将左边的单项式展开为多项式,虽然有些麻烦,但我不怕它!”

有勇气!

“(1–a)(1–b)(1–c) = (1–ab+ab)(1–c) = 1–ab+abc+ac+bcabc = ab+ac+bcabc……但是,有一个问题,后面无论怎么办,都得不出≥8abc。想了很久,还是做不出。”

实践证明,你只是有勇无谋。这里还得说一下你的性格与思维方式的一些缺陷,那就是做事时目的既不现实,也不清晰,你也不爱反思自己的目的实现的可能性有多大。比如上面的“将乘法变成加法”的思路(目的)中,本来就包含了许多不现实的因素。即使你把乘法变成了加法,把“–(a+b+c)”换成了“–1”,你又能解决问题吗?你最终必须把左边变到“≥8abc”这一步,也就是说必须变出“abc”这一单项式,然而把“–(a+b+c)”换成“–1”有用吗?在“将左边的单项式展开”的思路中,目的显得更模糊,想到展开你就马上开始算,也没有反思展开得到答案的可能性有多大。展开的结果只是得到一些散乱而复杂的项,只要稍估计一下就可以想象(1–a)(1–b)(1–c)展开后的复杂性,在其他方面还未到山穷水尽的时候,最好不要轻易走上这一条路。

做事没有目的或没有恰当的目的,除了运气好外,是不可能干成什么事的。对于在家庭、社会与考试的重重压力下与误导下的中学生,心中的迷惘与目的模糊不现实是很常见的,但这却是一个很大很大的悲剧,因为许多的痛苦与浪费青春都与此直接有关!许多能因看悲剧而潸然泪下的人,为什么对此却如此麻木?获取个人幸福需要有足够的文化修养,在未来社会的激烈竞争中需要有足够的才能,因此不想学习的人不会是很幸运的,而成天围着高考转的人也幸运不到哪儿去。但这两种人却占了现在的中学生的大部分,这难道不可悲吗?高考是什么?它只是你儿时身上穿的一件衣服,不管这件衣服多漂亮,质量多好,等你长大后,它都不会再有多大的用了。而你付出了那么多的东西,难道就仅仅为了这件衣服?!

为了不冲淡主题,中学生的迷惘与目的模糊不现实暂且不再谈下去。我们看一看究竟如何考虑才能证明“(1–a)(1–b)(1–c)≥8abc”,这里有三种思路,读者可任选一种阅读:

得到(1–a)(1–b)(1–c) = (b+c) (a+c) (a+b)  = 8abc,当且仅当a=b=c=1/3时取等号。三条思路都紧扣要证明(1–a)(1–b)(1–c) ≥ 8abc这一目的,并且联系这一不等式进一步找了更具体、明确与可行的目的。思路一抓住“1”必须消失,思路二抓住“–a”需要被改变,思路三抓住要在每个因式上下工夫。

施主,你还未意识到数学可以给你指出你的性格与思维方式的缺陷?还未意识到良好的性格与思维方式是一个成功者的重要的素质?还未意识到你的性格与思维方式还需要弥补?阿弥陀佛,善哉!善哉!

但真若如此,我也不是什么得道高僧了。这样说吧:阿弥陀佛,悲哉!悲哉!

在不等式这一章的学习中,我们可以见识到许多巧妙的转化与联系。

接下来看一道例题。

【例 16】求的最小值。

,是这样做的吗?当真可以这样做吗?想一想,均值不等式中等号能成立的前提条件是什么?是a = b。在上面的解答中,如果等号能成立,则,即x2+4 = 1, x2 = –3,这显然是不可能的,所以所求的最小值不可能是2。

如果你在上面的解答过程中对于直接用均值不等式没有立即感到值得怀疑的话,那么你的思维方式就有一个很大的缺陷,那就是,做事很少考虑前提条件。一个想有大的作为的人,必须要求自己处理每一件事都要考虑清楚前提条件,考虑清楚自己能不能这样做。当然,处理每件事都这样只是一种理想状态,但人却需要这样要求自己。有的人说话时常不注意,总是说了后又后悔;有的人常常头脑发晕,对朋友开些过分的玩笑,损害了彼此的感情;有的人虽然有时很关心集体与社会,但照样在公共场所乱扔垃圾;还有许多人还有其他方面的毛病。所有这些人,都没有反思自己的习惯,都不爱在做事前考虑自己能做的前提条件。这种性格与思维方式能改变么?能,其实,人的任何一种习惯、性格与思维方式都是可以改变的,关键是看你有没有意志,有没有科学的方法,其次在很小的程度上看有没有外界条件。每次做错了事,做错了题,都要有魄力,有勇气批评自己,这样,时间长了,良好的习惯、性格与思维方式就能渐渐形成。当然,这需要经过一个很痛苦的过程(不过当人真正去挑战痛苦时,这一过程又会变得充满乐趣)。

上面这道题,还能用均值不等式来解吗?大家先想一想。

我们看一下此题的分析。虽然不能成立,即x2+4 = 1不能成立,但情况真的那么令人悲观吗?怎么办呢?既然x2+4 = 1中的1太小了,那么我们就把它变大点,变成4,然后再减去3,即把原式变为,然后就可以利用均值不等式了,,这样思考当真就能百分之百地得到最终结果吗?不一定。因为当我们把1变成4 – 3时,我们并不能保证时,即取最小值时,后面的也能取到最小值,如果两者取最小值的条件不一样,即它们不能同时取最小值,那么刚才的这些思考也就白费了。也就是说,这种思考实际上是一种冒险,但我们还是必须试一试。后来我们可以发现两者取到最小值的条件都一样,都是x = 0。

当我结识这道题及其解法时,它给了我极大的震动。人在思考时,或许常因为条件难以得到满足或条件不够而停止这方面的思考,但此题却在提醒我们,我们可以构造条件!本题就将1变成了4 – 3。这需要一种勇气与豪迈,一种构造条件以摆脱人们所处困境的勇气与豪迈。人们常常只重视数学家、科学家所得出的结论,而忽视了他们痛苦的心路历程。本题的创造是痛苦的,因为它本身就是一种冒险。一些更大的创造更是如此,那些伟大的创造者,不仅是大孤独,遭大误解,有时(甚至许多时候)还得忍受壮志末酬以致绝望的巨大伤痛,更糟糕的是,他们有时连自己都不知道,自己的梦能实现吗?自己是在创造吗!他们会深深地怀疑自己,驳难自己,将自己置于重重的内心矛盾之中,自己将自己的心撕碎。看看那些伟大的创造者吧!屈原为了他的美政而献出了生命,尼采疯狂了,梵高则集疯狂与自杀于一身。我们有许多人,不是遇到困难就逃避吗?不是遇到困难问题就不敢想吗?思想没有禁区!当我在自己的路途上艰辛地探索时,数学家的勇气与其取得的成绩对我是多大的鼓励与安慰!

当然,如果做上题时发现这种方法行不通,还是必须学会反思与放弃,并找其他的方法。从做人方面来说,也就是要反思,要敢于否定自己,不能陷入一些无意义的事而不能自拔。当然,激进是我们年青人的特点,不能只知道否定这一特点,但年青人必须学着反思,学着自己估计将要耗去的成本。

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