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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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高效的解题思想的培养:用目的引导思维

4. 总结与例题

在解决问题的过程中,对类函数关系的把握(包括基础知识的学习)为我们提供了知识基础及对整个问题的整体印象,也提供了极为重要的深入实际的习惯;而强烈的目的,则为我们解决问题指明了方向。而在已知与欲求结论相联系的过程中,则常常凝聚着灵感、经验、解放思想、提出设想及验证设想等许多方面的能力。这就是我对许多优秀者解决问题的思维过程的描述。

然而我又对这种描述感到不满,难道它不会像许多所谓的解题思路那样过于死板吗?虽然我觉得这种解题思想已经比较灵活了,但将它作为解决所有困难问题的固定步骤,是否显得过于武断与不切实际?我会谨慎考虑这些问题,因为人的心理与客观世界的复杂性,常常会让过于自信的人非常难堪。只希望大家都能有科学的怀疑精神与不息的探索精神,不要让死板的东西一直把我们束缚着。

我很少愿意将数、理、化、生(甚至还有政治与哲学等)作为几门不同的学科来学习,因为它们常常仅有基础知识的不同,而它们所用的思维方式则几乎完全一样,甚至连学习这此基础知识的方法也几乎相同!只是数学常常更需要强烈的目的的指引,物理、化学、生物更需要把基础打好(至少中学是这样),而思想政治则更需要语文能力及联系实际的能力。但注意这五科都很需要强烈的目的、好的基础、语文能力及联系实际的能力。比如思想政治的学习中,就很需要掌握基本概念与原理,但这并不是说只需把书上的基本概念与原理背下来就行了,而是说应该深入理解与掌握它们在现实中的具体含义;教材上有些地方难免空洞不好理解,而课外知识与习题中的例子则提供了理解教材的背景;当然,既然是要深入理解与掌握它们在现实中的含义,因此在现实生活中思考它们也是极为重要的。

为使读者更深刻地理解以上提到的解题思想,下面还举了几道例题,以供参考。

【例 10】  已知,在△ABC中,∠B=60°,且2b=a+c。如果函数f(x) = ax2 – (b+1)x + 3c 在(1,2)上是增函数,求f(3)的取值范围。

此题应如何思考呢?需要求f(3)的取值范围,而f(3) = a·32 – 3(b+1) + 3c = 9a – 3b + 3c – 3,可见f(3)是由abc共同决定的,但这又是怎样决定的呢?这似乎太复杂了些,可以根据已知中的2b=a+c得到c=2ba,代入f(3)有,f(3)=6a+3b-3。但这又能说明什么问题呢?求f(3)的取值范围,其他的已知条件是怎样的呢?f(x)在(1,2)上是增函数能得出什么?由于abc是三角形三边,因此a大于0,因此二次函数f(x)的开口应该向上,要使f(x)在(1, 2)上递增,只需对称轴 x = (b+1)/2a在1的左端或与x=1重合就行了,(b+1)/2a ≤ 1即,即2ab+1,但这又能得出什么呢?

再推理一下,,但这似乎与2ab+1是换汤不换药,都没有什么效果。

再联系要解决的问题想一想,,然而b并不是个确定的数值,还是没能求出f(3)的取值范围。

然而,始终围绕着以上思路展开是不明智,我们需要反思,以上的思路有达到目的的可能性吗?我们需要更深入地分析此题中的类函数关系。f(x)的取值范围由所有的已知条件共同决定,重读题可以发现,∠B=60°还未用上。那么,∠B=60°对此题的类函数关系会产生什么影响呢?如果不用上它,那么可能我们的思路永远都只会是循环代换。f(x)是纯代数方面的,而∠B=60°是几何方面的,根据相通相运算原则,这里只有把∠B=60°也转化到代数上来,整个类函数关系才能统一起来。我们需要知道∠B=60°的作用,即需要在△ABC中,通过∠B=60°建立起一个关于abc的方程。

这里本可以用余弦定理(即 b2 = a2 + c2 – 2ac cosB)这个了不起的沟通几何与代数的定理来解,但考虑到某些读者可能还未学它,故在此不用它。这里只有一个60°角,还不能列出什么方程。但可以用勾股定理试试,因此需要作一条辅线,构造直角三角形。但作BD⊥AC,∠B已被分成了两半,很难利用;故可考虑过A或C作高。为避免∠A或∠C是钝角,即高在三角形外的情况,可不失一般性,设∠A<∠C。作CD⊥AB于D,则

AC2 = CD2 + AD2

a2 + c2ac – b2 = 0。此方程还只是abc的无规则关系,但以上的目的已实现,已通过角度关系建立了一个关于abc的方程。

现在需进一步研究此题中的类函数关系。题还有另一个abc之间的无规则关系2b=a+c,即我们已可以得到abc任意两者之间的函数关系了。把b=(a+c)/2 代入a2 + c2ac – b2 = 0中,再化简得到a=c

我们居然得出了a=c这一特殊条件!这似乎有点玄。a=c可得出a=b=c。这样,可得到f(3) = 9a – 3,只需求出a的取值范围就行了。2ab+1,即a≥1,∴ f(3) = 9a – 3≥6。

【例 11】  已知元素为正整数的数集序列:{1}, {2,3}, {4,5,6}, {7,8,9,10},… 试求第n个数集中所有数的和Sn

此题关键问题是,第n个数集究竟是怎样一个数集?这里已涉及了一种基本的思维方式。虽然前面常运用它,但还未专门把它提出来。这种基本的思维方式即是,要解决关于某个事物的问题,我们首先必须弄清它究竟是什么,也就是弄清它的本质,弄清它的具体情况。而在【例 10】中,我们要利用∠B=60°,也首先对它有了深刻的认识,即它是几何方面的,它可通过勾股定理的应用转化到代数方面去。但假如我们不知道∠B=60°究竟有什么深意,那么我们也就不可能解决此题。而此题的主要目的之一,正是需要训练这种从本质上(这里或者说从具体情况上)考虑问题的思维方式。需要求出第n个数集中所有数之和Sn,那么第n个数集究竟是怎样的数集呢?

当然,这种思维,不能太空洞,应尽力使用术语,也就是说这里我们应从数列的首项、项数等来考虑这个数集(容易看出这个数集里的数可组成一个等差数列),那么第n个数集里的等差数列的项数与首项究竟是什么?

第1个数集{1}有一个元素,第2个数集{2,3}有2个元素,第3个数集{4,5,6}有3个元素……因此第n个数集就有n个元素,因此所求项数为n

那么首项a1是什么呢?由于所有的数是按{1},{2,3},{4,5,6},…,{a1,a1+1,…}排列的,因此a1前面的n–1个数集中一共有多少个数,a1就等于多少加1,即 a1 = 1 + 2 + 3 + … + [(n–1)+1] = (n2n+2)/2,当然,这一步关键是能否看到a1前的n–1个数集中的数一共有1+2+3+…+(n–1)个这一点,虽然思维方式能帮上的忙很少,但独自思考时这一点并不难看出。

弄清了这个数集的具体情况,即弄清了项数n与首项a1,(公差d=1,)那么各项和Sn就容易求了:

Sn = a1n + dn(n – 1)/2 = n(n2+1)/2。

【例 12】在直角三角形ABC中,AD是斜边BC上的高,E是AD的中点,BE的延长线交AC于F,FG⊥BC于G。求证:FG2=AF·FC。

读完已知,容易想到,AD//FG,然而要证明FG2=AF·FC,即要证明AF/FG = FG/FC,这又该如何去想呢?它们在相似三角形中吗?不在,那么又如何去建立FG、AF与FC之间的联系呢?AF所在的直角三角形似乎有些不伦不类,因为居然找不到它与其他三角形相似的可能性。看一看是否能让AF转移阵地,即让AF与FG、FC攀亲并搭上关系,同时要求产生三角形相似的可能性。作GP//AF交AD于P,则GP=AF,∠FGP=∠GFC。需证GP:FG=FG:FC,连结FP,显然△GPF∽Rt△FGC与GP:FG=FG:FC是解题等效量,那么它如何证明呢?如果能证明∠FPG=90°,那么问题也就解决了。如果∠FPG=90°,那么∠PFA=90°也该成立,然而这又如何解决呢?

然而,从这条思路想下去,始终未能解决问题,这是为什么呢?这时有必要更深入地理清本题的类函数关系。让我们用动态的情景来考虑题中各量是如何相互依赖与决定的。Rt△ABC的变化,决定了高AD的变化,从而决定中点E的变化,F是BE的延长线与AC的交点,因此也决定了F的变化,并间接决定了G的变化。整个类函数关系中,最玄的似乎是E是AD的中点,而这个条件在上面是没有用上的,但它本来就决定了F以及G,也就是说如果没用到E是AD的中点,那么一切的思考便很可能是类函数关系的循环代换,达不到我们的目的。从图中可以看出,P点是很难与E点扯上关系的,因此我们在此不可能证明出∠FPG=90°。当然,已经能熟悉运用类函数关系分析问题的人一般很容易看出这一点,因此从一开始便不会想通过GP来解决问题。GP只是由F与G引申出来的量,它不会给除开E是中点后所剩条件组成的类函数关系带来任何新变化。

那么AE=DE这一条件有什么深层的含义呢?BF穿过AD的中点E后会产生怎样的特殊变化?AF不能与FG、FC沟通,因此,必须作辅助线,会产生一些中间量,使现有的格局改变,那么所作的辅助线是否会受E点的影响呢?我们要证明的FG2=AF·FC中,FG有平方,即它要用两次,那么是否需要将FG复制一次,并移到其他地方,从而改变现有的格局呢?结合图形想到这些,特别是想到由B点发出的线经过A、E、D再射向FG这一方向,自然容易想到作BA与GF相交于H,那么通过AD的中点E射过去得到的F,会不会也是HG的中点呢?如果是,那么FG便转移到HF上去了,作辅助线的目的便已达到。事实上,容易证明出HF/AE = BF/BE = FG/DE,而AE=DE,因此HF=FG

现在,只要能证明AF/FG = HF/FC,一切问题便已解决。这是易证的,因为很容易得到Rt△AHF ∽ Rt△GCF,从而得证。

在以上的大部分例题的解析中,我们都首先引出了不能解决问题的思路,这不是在浪费时间。因为一方面,陷入不能解决问题的思路是我们平时解题中常有的事,我们这里的例题自然要努力解决这个问题,使我们陷进去的思维能被解救出来;另一方面,虽然某些思路不能解决问题,但它们却能让我们更深刻地体会到题中的类函数关系,从而使初读题时的那种不知如何下手的思绪变得敏锐起来,从而让我们找到解决问题的方向。

此外,由于读者在阅读以上解析时,既要想着题,又要费力地理解文字表达,因此不可能完全像平时自己想问题的感受。因此,死板地按我写的去想是不必的,读者只需要体会之中提到的类函数关系、解题等效量、循环代换、相通相运算原则、用目的引导思维、思索可能性等一些很基本的解决问题的思维方式,留下印象,以在自己平时解决问题的过程中受到一些启示与得到一些感悟。

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