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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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高效的解题思想的培养:用目的引导思维

3. 关心实现目的的可能性

在某一类函数关系中,各事物相互影响,相互联系。那么它们是怎样相互影响的呢?这种联系又是什么?应该说,这种问题是能被最终弄清的(哲学中早已有世界是可以认识的这一观点),但在我们心中的知识体系中,很可能是无论如何也不可能推知这种问题的答案的,我们需要的是新的知识。比如有人叫我解方程:3x+4x=5x。自然,对于这个方程,我们无论是用加减乘除还是用乘方开方或取对数,都不可能将其中的x从子数中全部“取”出。对于这种不可能用我们现有(高一)知识解决的问题,我们就不应去做徒劳的工作了。当然假如有雅兴,要去研究如何解决这种问题也可以(做这种事对于一个想当相应的什么什么学家的人是非常重要的),首先自己就得去探索那些新的知识。比如上式两边取对数:log5(3x+4x) = x。如何将左边展开呢(真数的和而非积)?这里可能就有一个新知识。我们也可以想其他办法,但同样会遇到新知识的障碍。(我读高三时发现,这个新知识其实就是导数与单调性。)

但许多时候,我们弄不清上述问题的答案,不是因为我们缺乏新知识,而是因为此时我们头脑中所能呈现出来的知识体系,并没有包含我们现在所需要的所有的知识。因为有些知识仅仅是作为孤立的知识点被我们记住了,现在并不能被唤醒。可能学习它们时,我们并没有注意把它们与其他知识相运算,即没有注意它们与其他知识的联系,这些知识只能存在于我们头脑中的幽深的博物馆里,而不能用来解决实际问题。这样,我们要能够利用这些知识,学习基础知识时就要注意该知识与我们已学的知识以及现实世界的联系,并熟知这种联系,这样在遇到相关问题时,也才能通过相关问题的提示把它们联想起来。因此在《基础知识的学习》一章里,我们谈到了熟悉基础知识必须清楚把握这些知识所隐含的类函数关系(类函数关系本来就是研究各事物之间的联系的),也谈到了用自己已有知识来构建与解释新知识的必要(从而将自己所有的知识构建成一个相互联系与相互提示的整体)。

对于我们有目的地解决问题时所提的设想,也一定要注意它有没有实现的可能性,比如上面的具体化<bn&n>的过程中,我们就认真研究了通过它解决问题的可能性,这样才能避免我们绝不应该的盲目与目的空洞,使我们的目的真正成为指引我们前进的不灭的明亮灯塔。在前面的讨论中我们已经提到,为了解决某个问题而提出的设想(或解决方案)许多时候并不能实现,因此我们时常陷入无意义的类函数关系的循环代换中,时常思想卡壳而不能解决问题。因此,关心实现目的是否具有可能性是提高解决问题的能力的必要途径。

【例 8】 在正方形ABCD中,BE=BF,F、E是AB、BC上的点,BG⊥FC于G,求证:DG⊥GE。

如何证明∠DGE=90°呢?它与各已知条件有什么联系?∠DGE在△DGE中,那么△DGE会不会与Rt△BGC相似呢?是否会有GE/GB = GD/GC = DE/BC?可不可以用DC=BC进行比例线段的转化呢?如果GE/GB = GD/GC,则GE/GD = GB/GC,而GB/GC是否可以转化,然后得出什么结论呢?

当然,这样一直想下去,问题就复杂了,但这条思路是否有成功的可能性呢?如果连成功的可能性都没有,那么拼死拼活地想下去,不就白拼了吗?上面已经对这条思路展开了这么多,却并没有取得什么实质性的进展,是该好好反思,研究我们的目的是否有实现的可能性的时候了。

我们能够通过证明△DGE与哪个三角形相似来解决问题吗?在△DGE中,∠DGE是未知的。在整个类函数关系中,由于BE=BF,BG⊥CF于G,因此E点与G点可以说都是随F在AB上位置的交化而变化的,因此B、E、C、G、F这几点及其之间的线段的关系是很密切的。然而,D与G两点之间的连线却难以把握,我们很难找出DG与其他线段之间的关系,因此,在证明的过程中DG是不可能用上的。同样,∠GDE与∠GED也是难以与已知条件建立起什么关系的。这样,△DGE中便只剩下边GE与DE还可能可以利用,但这根本是导不出关于△DGE的相似的,因此以上的目的不可能实现。

认识到这一点,我们便需要重新确立目的了,∠DGE只在△DGE中,而△DGE是很难帮上什么忙的,∠DGE与其他量之间也没有什么关系,因此不可能直接证明出∠DGE=90°。那么有没有什么间接的方法呢?∠DGE与直角BGC靠得这么近,容易想到它们之间的联系。如果∠DGE =90°成立,则∠3+∠CGE=90°=∠2+∠CGE,因此∠3=∠2。这样∠DGE=90°已等效于∠3=∠2了,那么如何证明∠3=∠2呢?可见∠3与∠2在两个很相似的三角形中,那么能否证明△DGC∽△EGB呢?易得,∠5+∠1=90°=∠4+∠1,因此∠5=∠4,显然,如果∠3=∠2是成立的,那么△DGC∽△EGB也就是可以证明的了。抛开∠2=∠3这个与欲证结论是解题等效量的等式,完全从已知条件出发看能否证出△DGC∽△EGB。∵∠5=∠4已证出,而∠GEB=∠GDC又很难证明,∴只需证明BG/GC = BE/DC,可用BE=BF与DC=BC将此比例式转化到△BCF中这些关系密切的线段上来,即只需证明BG/GC = BF/BC,而△BGF∽△CGB,因此这是显然成立的。故证。

可能性的推理是很模糊的,许多时候甚至只是凭直觉,当然也有更理性的时候。如上例,我们在推理不能通过△DGE与其他三角形相似来解决问题时,我们只说了DG与∠GDE、∠GED等很难建立起与已知条件的联系,它们不可能用上,而并没有对这一推理进行严格的证明,因为可能性本来就只是用来帮助思考的,我们没有必要用“严格的证明”来增加大脑的负担。不少时候只需凭曾经的学习与经验产生的直觉就能判断出。

当然,可能与不可能只是两种极端的情形,有些目的似乎既有可能达到,又有可能达不到,我们有时说某目的不可能实现,只是为了表述的方便与思想的简化,并不代表绝对不可能实现。因此,我们通常只是考虑某种目的实现的可能性的大小。某一目的实现的可能性太小了,我们便可能探索新的目的;但如果我们感到各个目的均不可能实现,则应进一步深入寻找那一点看似微小的可能性。因为通常只有找到了可能性,我们才能解决问题。

比如,设想在上题中,我们并没有找到证明△DGC∽△EGB这条思路,那么我们应如何寻找解决问题的可能性呢?△DGE果真不能用来证明∠DGE=90°吗?在正方形与诸多直角的背景下,我们是否可以运用勾股定理通过证明DE2=DG2+GE2来证明呢?既然要通过这条途径来证明,那么现在首先就需要理清各条线段的类函数关系。如前所说,由于E、G两点都是随F点的变化而变化的,而正方形ABCD的形状是固定不变的,因此GE、GD、DE也都是由BF决定的,都与BF是函数关系,是解题等效量。如果设正方形的边长为单位长度,即AB=1,BF的长度却是不确定的,设BF=a。但既然题中要我们证明∠DGE=90°,即是说∠DGE的大小与a的大小没有关系,因此最终DE2=DG2+GE2应该是关于a的一个恒等式。现在,我们关键就是要具体写出这个恒等式,从而证明此题。

DE2 = DC2 + EC2 = DC2 + (BC–BE)2 = 1 + (1–a)2,这一点较容易看出。DG与GE都与G点紧密相关,因此,要想求出DG与GE,就需要将G点的位置用a表达再来。作GM⊥AB于M,GN⊥BC于N,GP⊥CD于P,设GM=x,GN=y,则G的位置由xy的值共同决定。易得GP=1–x,DP=1–y,即DG2=(1–x)2+(1–y)2;NE=a – x,即GE2 = y2+( a – x)2。下面关键是要用a表示xy,从而证明出[(1–x)2+(1–y)2] + [y2+( a – x)2] = 1 + (1 – a)2,即DG2 + GE2 = DE2。此题可用坐标与向量解答,但由于涉及了更高知识水平的要求,故这里不同此法。下面给出简略证明。

首先列出关于xya的两个方程,从而用a解出xy。易得Rt△GBN~Rt△CFB,∴x/a = y/1①;MG//BC,∴MG/BC = FM/FB, 即 x/1 = (a – y)/a②。由①与②可得:

y = a / (a2+1), x = a2 / (a2+1),

∴DG2+GE2

=(1–x)2 + (1–y)2 + y2 + ( a – x)2

=

=

=a2 + 1 + 1 – 2a = 1 + (1 – a)2

=DE2

∴DG⊥GE。

虽然这条思路显得比较复杂,但它是我们在△DGE中寻求通过勾股定理证明结论这种可能性的必然结果。不过还是好,我们至少将它证明了出来;假如没有发现这种证法成功的那一点可能性,我们可能连证明出来都办不到。思考题的时候需要寻找解决问题的可能性在哪里,寻找的过程中可以凭借猜测、经验、直觉、灵感与理性的思维方式等等,只要感到了或分析出来了某种解题方案具有实现的可能性,那么问题的解决便近了。再看一例:

【例 9】已知一木块与一铁块用轻绳连在一起并放在水中,其质量分别为mM,它们以加速度a从静止开始下沉(设水的阻力只有浮力),经过时间t时细绳断开,再经过时间t′,木块速度为零。求此时铁块速度v′。

此题是我的物理老师在讲动量定理时的一道例题,思路很简洁与深刻。但他开玩笑说,如果不用动量定理,而用以前的牛顿第二定律与匀变速直线运动的知识来解,那么可能你做到死都做不出来。但事实是否真的如此呢?

分析一下整个物理过程(即理清题中的类函数关系)。开始时,木块与铁块被连在一起,受拉力作用,木块未能够浮出水面,而是被铁块拖下水;而铁块也未能如平常一样直栽水底,只能慢一些地下降。下降的加速度已知为a,因此,虽然时间在推移,但我们仍知道任何时刻它的位置与速度,这些都与t是函数关系。然而,当t时绳子突然断了,那么接下来,物理情形会是怎样呢?木块与铁块会各自运动各自的,互不相干;然而它们各自的加速度未知,以前的函数关系已经被打破,那么还能不能求出它们各自的加速度,从而建立起另一个与时间t有关的函数关系呢?求加速度需要知道它们各自所受的浮力,而求浮力又涉及到体积或其他什么的,但题中并没有这些。因此,求各自的加速度已经落空了,也就是说,铁块以后的下沉速度随时间的变化完全不确定,除非找到了新的有利条件。然而又需要求出t′时铁块的速度v′,那么解出本题的可能性又在哪里呢?

题中还有一个条件未用到,恰好在t′时,木块速度为零,这能说明什么呢?本来,在以上分析出的类函数关系中,由于木块在绳断后的运动情况也是不能把握的,如果其加速度不同,它的速度减为零所需的时间也不同,并随加速度的变化而变化。然而这里,木块减为零所需的时间是一定的,为t′,因此,“如果其加速度不同”这个假设是不成立的,即木块在绳断后,其加速度是一定的,其运动情况已经完全确定下来,从而上述的类函数关系已经改变。那么木块加速度的确定是否会对铁块产生影响呢?我们需要求出铁块在t′时的速度v′是否需要通过求木块的加速度来求呢?

这显然是一种可能性。现在根据这种可能性进一步想一想。木块的加速度是容易求出的,木块在绳断时与铁块的共同速度设为v,则木块此后的加速度大小a = (v – 0)/t' = v/t',而v=at,因此,小a = at/t'。那么铁块此后的加速度a与它有什么关系呢?根据相通相运算原则,求a需要找到将木块与铁块联系在一起的情况。显然,绳断这个转折点有重要意义,绳断既与木块和铁块都有关系,又是它们的新的起点。那么绳断有什么特殊含义呢?绳断用物理术语表述就是,两物块之间的拉力消失。而正是由于拉力的消失(两物块所受的拉力大小相等,方向相反),它们的运动情况才得以改变。正是拉力的大小相等、方向相反,实现了木块与铁块的沟通,木块所受的拉力就等于铁块所受的拉力。

现在我们的目的更为明确了,即要通过绳的拉力F建立起木块与铁块的关系(木块的运动在上面就已经知道了),从而求出av'av'等效,a = (v'–v)/t' = (v'–at)/t')。首先建立a与力的关系,然后再找到aF的关系。a = FG / M,其中FG表示铁块受到的重力与浮力的合力,因此FGa是解题的等效量。在绳断前,Ma = FG – F,即FGF也是解题等效量,因此,[a& F]已经能够通过以上两个方程建立起来了:Ma = Ma – F①。接下来用类似的方法可建立起aF的关系[a& F]:ma = F – FG= F – ma②。由①与②可消去F,得到[a&a],并最终解得v' = (M+m)(t+t')a/M 。在上题的解析中,正是对可能性的探寻中(通过对类函数关系的分析而得到),才最终确立了解题方向,并解出此题。

人在通常状况下,大脑中的思想都是很模糊、很混乱、很盲无目的的,比如一般人都能想到许多东西,但却很难将它们说出来或写出来,其原因与其说是语文水平不够,还不如说是思维能力不够,即思维太模糊与混乱了。用目的来引导思维这一种思维方式的训练,一方面就是为了在一定程度上培养这种思维能力,使我们能够把很模糊、很混乱的思维变得更清晰、更有条理一些。因为如果我们能够在思维的过程中紧紧扣住需要解决的问题,紧紧扣住解决它的可能的方案,而不是漫无目的地思考,那么便不会盲无目的地胡思乱想,就会容易许多。

但在现实生活中,人们的目的通常却很不充实与明确。要么目的很少,思想很简单,只顾按习惯办事。要么目的太缺乏现实意义,只是来自一些简单的欲望或想象。要么太空洞,没有什么具体的实施细则,比如,有人只是常沉浸在对纯真美好的友情的幻想中,而并没有想到如何提高自己的各种素质与增强自己关心别人的能力等得到最纯真美好的情谊所必须做的,这种人最终通常还是只能幻想。又如,一般人总是追寻精彩的一生的,那么怎样做才能使人生变得最为精彩?不少人对此却想象得很少。这一方面是由于自己能力有限,很难想清这些问题(这里说的只是很难,而不是不能),但更重要的一方面则是由于思维方式、思维习惯的缺陷,他们根本就没有把目的具体化,没有具体的实现目的的方案。在学习中反复训练这种思维方式与培养这种思维习惯,正可以在很大程度上弥补这一缺陷。

但人光有目的,有实现目的的更具体的目的也还是不够的,一意孤行的人从来都有既强烈又具体的目的。即使有强烈与具体的目的,也并不意味着这些目的就能实现。因此,考虑目的实现的可能性,也便成了必要。这不仅包括思索如何才可能实现目的,而且还包括反思目的与解决问题的方案(即具体目的)是不是不可能实现的。比如制定一个暑假的学习计划,我们不能只想着要达到怎样的目的,只想着每天要完成哪些任务;我们还要反思一下,这些目的能不能实现?会不会因为某种意外而完全落空?想到这其中存在的不可能性,我们就需要制定更具体可行的目的,比如,我们的生活与学习应该选择怎样的环境,才能避免不必要的打挠,才能拒绝电视与闲玩的诱惑?又如人都会有惰性,我们是否可能只会想而不会做?是否需要请父母或其他人来监督与提示甚至命令自己?再如遗忘是人的天性,我们是否可能一回到家就把目标与计划一股脑儿都忘了?是否需要将目标与计划都用较大的字写下来,并贴在自己可能接触的每一个地方,如干脆贴在电视机屏幕上?

又如我们需要说服一个人,就不能只想着那些雄不可驳的道理,而应反思一下,这种方法可能成功吗?他可不可能不理解不接受?可不可能第二天就将你说的一切都忘得一干二净?可不可能没有恰当的时间与环境,或者你们会有较多的争执,从而你根本不可能将先前所想的表达出来,或者表达出来的早已变味?真正要说服人,需要很注意了解与宽容对方的内心世界,需要有很多反思,需要很灵活;这除了在学习中注意自己的知识与思维方式的修养外,还需有说服人的足够的经历。这种经历不能只关心自己的利益,而应多考虑如何关心他人,因为关心别人是说服别人的必要前提。

总之,我们解决一切问题,都需要有目的(包括最终目的与实现它的具体目的),都需要考虑实现它们的可能性,否则我们便会在解决复杂一些的问题中表现得很低能。

熟悉哲学的人可能早已发现,在以上提出的思维方式中,有目的有计划本来就是人类最基本的活动——实践活动的重要特征;而类函数关系的定义(事物之类相互影响、相互联系与相互制约的关系)及其性质(如相通相运算原则),也受哲学的影响很深。什么是哲学?一种定义是,哲学就是关于世界的普遍规律的科学。其实,以上解题的思维方式的提出,不仅是为了大家能搞好学习,轻松学习,并且也是为了使我们在学习中培养出一种哲学气质,能从一个问题的解决上受到启示,联想到另一个问题的解决方法。比如在《数学中的美》一文中,我们从已知的几个数列的通项公式以及历史的发展规律,联想到1,3,2,4,3,5,4,6,…这个数列的通项公式的求法,这其实也就是哲学气质的一种体现。当然,这也就决定了如果学习要能达到很高的水平,要有以上这些良好的思维方式,就必须有一定的哲学修养,冲破文理科之间的界限。这些思维方式将自然科学与人文科学紧密地联系在了一起,使我们能在自然科学与人文科学的学习中相互借鉴,相互吸收营养。这有助于解决让不少有识之士都感到棘手的一个问题,即中学的自然科学与人文科学的教育很难统一起来,但现在这个问题已经解决,两种科学只有基础知识的不同,但用它们解决问题的思维方式却很相似,这些思维方式是具有哲学色彩的。(另外,能运用好类比与文学中的比喻,也是哲学气质的一种体现。)而这一切,正是素质教育的重要内容之一。

 

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