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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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高效的解题思想的培养:用目的引导思维

2. 有的放矢 用目的引导思维

我们常常听说,做人应该有追求,这样的人生才能是成功的人生。做人的追求即人生的目的。在我看来,人做任何事都需要有一个明确的目的(心中的灯塔)。有的放矢是很重要的,做任何事都要尽量想着这样做对我们实现目的有何作用,也要尽可能努力防止自己做一些没有目的的事或与我们任何有意义的目的都毫无关系的事(其实这常常非常难)。

我们在给自己定目标的时候还要避免目的的空洞或现实意义太小。比如问某人:“你做这道题的时候所想的目的是什么?”他会回答道:“把这道题做出来。”不知这种空洞的目的对解题有何作用!又如,问某人:“你读书的目的是什么?”他会回答道:“考个好大学,这样以后的前途好点。”这种目的我也不敢恭维,至于他以后的前途是否会好点,我只能表示怀疑。记得某些人初中时读书的目的就是考个好高中,但他们读到了高中就感到,自己以前的目的太小了,以致现在的能力与学习成绩都不能令自己满意。为了升学与前程这种目的太空洞了,其现实意义也太小了,因为人生中还有更重大的事要做,更重大的问题要解决。

只有有了与想解决的问题密切相关的具体的目的,我们才有了思考问题的入手点与方向,我们的思想才能主动而自然地展开。这既是我们培养独立、主动与创造性的思维方式所必需的,也是我们在问题中的各种复杂的关系中保持清晰的思路、找到破解问题的出口的关键。

下面看两道例题。

【例 6】已知,如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是角平分线,EF垂直平分AD于E,并交CB的延长线于F,求证:AF=AC。

首先理清题意,分析一下此题的类函数关系。已知条件中各条件比较散乱,很难直接看出它们之间有什么关系,只是无论是∠B=2∠C,还是AD是角平分线,以及后面的垂直平分,都涉及到了角。而要证明的结论AF=AC,是证明两条线段相等,但已知中的与线段有关的只有AE=DE,是否可以通过全等三角形或线段转化来证明呢?只需结合图想一会儿,便知这是不可能的,因为AF与AC都只是孤零零地站在那里,与其他东西建立不起什么联系。那么怎么办呢?注意我们的目的(一个深刻的目的),即沟通已知条件与要证明的结论,使其成为一个统一的类函数关系。我们知道相通相运算原则,那么,已知条件与欲证结论之间共通的方面在那里呢?显然AF=AC与∠AFC=∠C是解题等效量,即欲证结论与已知条件一样,也涉及到了角。那么这个共通的地方也就在于角了。现在我们的目的可以更具体了,需要通过已知条件建立起各相关的角的类函数关系,从中运算出∠AFC=∠C,从而导出AF=AC。角度的类函数关系可以通过方程的形式表现出来。

∵EF垂直平分AD,∴△AFD为等腰三角形,且∠AFC=2∠4。而∠1=∠2,∠ABC=2∠C,因此∠4与∠AFC,∠1与∠2,∠ABC与∠C都是解题等效量,且它们已将已知条件都用进来了。由于∠1与其解题等效量(∠2或∠BAC)不在欲求结论之中,因此需要列出两个不同的关于它们与其他量的关系的方程,从而将它们最终消去。现可列出方程:

∠C+∠2=∠5=90°-∠4①

但仅此方程是不行的,因为还不能推出什么结论,且已知条件还未用完,∠1=∠2,∠B=2∠C还未用上。可以再列出方程:

2∠2+∠C=180°-∠ABC=180°-2∠C②

或者90°-∠4+∠1=∠5+∠1=180°-∠ABC=180°-2∠C②

①与②组成的方程组即是所要建立的类函数关系,现在可以设法导出∠AFC=∠C了。由①与②可消去∠2与∠1,从而得到2∠4=∠C,即∠AFC=∠C,∴AF=AC。

也可以如下思考。进一步找欲证结论的解题等效量,AF=AC等效于∠AFC=∠C,那么∠AFC=∠C又进一步等效于什么呢?为达到此目的,可以进行如下推理:如果∠AFC=∠C成立,则可以从∠ABC=2∠C得到∠ABC=2∠AFC,而∠ABC=∠AFC+∠3,∴∠AFC=∠3=∠C。但∠AFC=∠3=∠C是从∠AFC=∠C这个假设上推出的,因此只能说明∠3=∠C等效于∠AFC=∠C,但∠3=∠C还需要证明。怎样沟通已知与求证,达到证明∠3=∠C这一目的呢?∵EF平分且垂直AD,∴△AFD是等腰三角形,∴∠3+∠1 = ∠5 = ∠2+∠C = ∠1+∠C,∴∠3=∠C;从而∠ABC=2∠3。而∠ABC = ∠3 + ∠AFC,∴∠AFC = ∠3 = ∠C,从而AF=AC。

以上的解析过程中,每一步骤都有强烈的目的,都围绕想解决某一问题这一目的而展开,一个目的实现了之后又合理地定出了新的目的,然后又围绕这个新的目的而展开思考。正是这一个个目的引导了我们的思维,使其不断前进。

为照顾一些学得较深入的读者,也为了读者在重新阅读时不会感到太浅,下面选了一道难度较大的例题。请读者先自己思考,然后再看解析,并在看解析的时候也尽量自己去想,而只把解析当作想不出时的提示,这样有助于加深理解。

【例 7】对于正整数n,最接近的正整数设为an,又设bn=n+an,从全体正整数中除去所有bn(n=1,2,…),余下的正整数以从小到大的顺序排列得到数列{cn},求{cn}的通项公式。

让我们首先来理清题意,找出题中所隐藏着的类函数关系。需要求出的是{cn}的通项公式(这是目的),它是怎样的数列呢?它是从全体正整数中除去bn,即除去n加上与最近的整数an才得到的。然而,我们平时求通项式都要先知道c1及与c1有关的一些东西,可是这儿的“除去所有的bn”与首项c1等有什么关系呢(相通相运算原则)?请回到题中想一想这个问题。我的感觉是,无论如何,nanbnc1都不可能有什么关系。那么,按通常的方法就不能求解了。那么我们该怎么办呢?再读一遍题看一下{cn}与什么有关(相通相运算原则)。易想到{bn}与{cn}合起来就是全体正整数,而题中,只有bn是与cn有关的,要实现我们的目的,看来只有找出bn所具有的特点了,看它能取哪些整数,那么剩下的就是{cn}了。(这里,就请把自己坚决果断的勇气与能力拿出来,也解放解放思想,这是我们解决问题的唯一方法了。)

bn具有什么特点呢?让我们再看一看其他已知条件(要深入实际,这里即要紧密联系已知条件想。我的感觉是,在想较深的问题时,我们的思维往往会越来越慢,甚至停止不前,这时脑子里可能只有“怎么办呢”这几个字,这时,可以提醒自己,再看看题,深入实际,或回忆自己刚才的思维),bn=n+an,可问题是,an最接近该怎样理解呢?这能说明什么?不要忘了我们的要找bn的特点的目的,它与bn有何联系?一边是式子,一边是文字表述,因此需要把文字也转化为数学式子,这样才符合相通相运算原则。关键是如何才能把“an是与最接近的整数”转化为数学式子呢?“最接近”应该怎么理解?比如,a1最接近=1,即a1=1,而a2最接近≈1.414, 1与2都是与接近的整数,但1更接近一些,因此a2=1,a3最接近≈1.732,也在1与2之间,但2更接近,因此a3 = 2,可见,在这里,最接近1与2的原因就在于-1<0.5,2-<0.5。因此,an是最接近的整数,可以列一个不等式,,但这里可不可能等于1/2,从而离它旁边的两个整数一样近呢?假如能,an是整数,则就是几又1/2(几点五),则n等于()2不为整数。这显然矛盾了,因此不能取等号。这样我们就已经得到了<bn&an>或<bn&n>(可根据bn=n+an消去nan得出)。ann都是整数,如果能通过这些关系式给bn一些限制,则求{cn}的通项公式就有望了(没有忘记我们这个目的吧?)。让我们首先把<bn&n>具体化。∵an = bn – n,∴,则 < bn <

让我们观察一下这个式子,会发现,其中包含了,而并不一定是整数,随着n的增大,的取值也几乎是没有规律的,那么,我们能用它来限制整数吗?想一想,上式中bn右边的式子比左边的式子大1,当n增加1,也会增加一点(小于1),也就是说,n+的增加显得无规律可寻,不过还是让我们沉着点,再提个设想。上式可以在数轴上表示,(不会是整数)与之间总存在一整数(可以把这两点之间的部分想成深色),+n会渐渐增大,但它是跳着增加的,每次增加1点几。也就是说,数轴变成了颜色深浅依次交替的无数段线段,如果一个整数在浅色的线段上,则它不能被bn取到,也就是说它会被{cn}的某个元素ck取到。即 < ck < ,即 < ck < ,此式左边比右边小

然而,我们依然还是面临着老问题,此式左右两边还是(至少一边是)无理数,并且是一个更无法把握的数。此外,即使将n+1/2移项到中间,从而得到单独的,再平方消去根号,ckkn的关系也很难确定。看来我们还是徒劳的。还记得我们的研究bncn的特征从而得到它们的通项公式的目的,我们现在已深深地感到,是无法让我们知道bncn的特征的,也就是说,只要无法化去(在这里是显然的),那么我们所做的就与我们的目的无关,让我们勇于抛弃那些虽然花了我们不少时间与精力的事(悬崖勒马!)。

让我们转而把<bn & an>具体化并尽力消除关系式中难以对付的根号。

(三者均为正,可平方并整理)

an2 + 1/4 < bn < an2 + 2an + 1/4,

嗯,这时还不易看出bn的特征,再变一下形,

an2 + 1/4 < bn < (an+1)2 – 3/4 …①,

可见,bn是两个相邻完全平方数之间的正整数(即an2与(an+1)2之间的正整数)。但能否说bn会取遍an2与(an+1)2之间所有的整数呢?任一整数m只要满足①,则倒推回去后可知,m也满足所有已知条件,所以bn可取m,即可取遍an2与(an+1)2之间的所有整数。而cn则取除了bn以外的数,即取完全平方数本身,所以cn=n2

需要说明的是:第一,做这种题良好的思维方式自然是极为重要的,不过,某些必要的基础知识也不能忽视。比如,如果不熟悉通项公式的一般求法,那么就很不可能想到“按通常的方法就不能求解了”,从而永远只能边读题边头晕,搞不清方向;也有人在上面已经得到an2 + 1/4 < bn < an2 + 2an + 1/4时,却还不能想到什么出路,他感觉不到an2 + 2an有什么特殊,因为他对完全平方公式an2 + 2an = an2 + 2an+1并不是很熟悉,对完全平方数也并不熟。

第二,想数学问题时往往用不着那么多语言,脑中想着的一般更多的是数学符号或图象,我用语言叙述我的思维过程也是被迫的(或许我的叙述并没有非常准确地表达出我的思维过程,尽管我已经尽力了),而想问题时脑子一般也不会有上面的文字叙述那样的清晰的思维过程,希望大家在阅读(重读)上述文字时尽量用自己做题时的心理状态来读。

第三,上述思维过程中,每一步都是有强烈的目的的,希望大家看时注意到这一点,以免显得过于被动。

第四,有的读者可能会有这种感觉:读上面的时,他们会觉得我很聪明,或觉得我写作的思维跳跃得过于大了,怎么一下子就想到了这一种方法呢?产生这种感觉的原因主要是他们仅仅在阅读我写的东西,这样不免太被动,不能像正常情况下一样在目的的提示下产生灵感。假如这时是他们自己在做题,并且他们做事也不忘目的的话,他们也是能想出来的,即使想的与我想的不一样,对于解决整个问题来说,一般也是等效的。因为直觉与灵感,是任何人都可以有的。

一些老师喜欢直接告诉学生正确或错误的思路,而不依据初学者的实际情况(比如经验少),引导他们较自由地探索,我想这种教学方法是不够科学的,并且是不符合素质教育的需要的。

我们也应注意经验的重要性,在上面,如果我们一开始就注意到(多半是凭经验的),不会给我们带来多大益处,因为这里有难以处理的,那么我们就可以转而去具体化<bn&an>了,而不用在前者上浪费时间。虽然经验不能使我们的思维得到多大的锻炼,但它也会为我们更深入地研究问题提供一些有利条件,如减少时间与精力的消耗。

 

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