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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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课堂教学实例:均值不等式的遐想(上)

我将以高二《不等式》一章为背景来上一堂课。我在帮一位同学复习时对以下的内容基本上都提到过。

前段时间我们学习了《不等式》一章的基础知识,下面我们将更进一步来学习这一章。对于均值不等式,大家是如何理解与记忆的?仅仅是两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数吗?这个公式究竟告诉了我们些什么?

其实,它指出的是一种运算法则的转化,即加法与乘法的相互转化,为我们获取运算优势开辟了一条道路。想一想,我们以前是怎样来解决不等式的问题的?可利用不等式的性质,可利用函数的单调性等等,但不管怎样,我们都未改变过原有的运算法则。比如利用不等式的性质,两边同时加上一个数,或同时乘以一个数,但这加、这乘,都只是在原有不等式的基础上进行的,因此未改变原有不等式中各数之间的运算符号。以前所学的知识容易使我们形成一种习惯,即仅仅利用不改变法则的方法的习惯。而这里的均值不等式,则为我们指出了一条完全不同的思维方式,一种敢于变革的思维方式!一种富于转变意识的思维方式!

我们看一例题。

【例 13】已知 y = x2 (x,yR)。求证:log2(2x + 2y) > 7/8.

一考虑此题,马上就会遇到运算法则的障碍,真数的和不能展开,也不能化简,或许根本就不能用以前的知识解答。而均值不等式就可以在此大展它能实现法则转化的风采了:

对数符号已经消失了!将y = x2代入①就可利用二次函数的知识解答了。在这里,均值不等式实现了将2x + 2y变为2x2y这一转化,从而使整个问题随着这一关键问题的解决而解决。均值不等式的巨大作用在这里便得到了很好的显示。

当然,实现了两事物之间的转化,其实就是建立起了两事物之间的联系。均值不等式告诉我们的就是加法与乘法之间的一种联系。在哲学的学习中我们知道,事物是普遍联系的,认识事物就需要认识事物之间的联系,比如要真正学好现代汉语,就需要学习与之紧密联系的外语与古代汉语。而科学则不能仅仅满足于这种抽象的观点,它要具体地弄清这些联系究竟是什么。哲学往往只给我们认识与改造世界指明了方向,而科学则要告诉我们具体该怎样去做。如果没有科学对哲学的深刻与具体的说明,哲学就只能是空洞的教条而已。数学中,两正数之和与它们的积之间的大小关系(联系)是,和与平方和的关系是,积与平方和的关系是2aba2 + b2。这几个公式,就它们本身来说,是非常简单的,没有什么深奥、难以理解的地方;但其作用却是很大的。它们就像是河流两岸之间的桥梁,又像是四通八达的计算机网络,它们沟通了两个彼此隔开的世界,使其联系了起来。有了桥梁,牛郎织女就可以于七月初七相聚在一起;有了网络,人们便可以很方便地沟通,交流。沟通、转化与联系,便是这几个均值不等式的作用。

【例 14】求周长为l的直角三角形面积S的最大值。

由于只有l是已知的,此题需要用l表示S的最大值。显然,必须首先建立l与S的关系。直角三角形的三边便成了将lS联系起来的桥梁。设ab为两直角边,c为斜边,则S = ab/2,l=a+b+c。但是,这里l=a+b+c中的c并没有在S = ab/2中出现,因此它不能起到将lS联系起来的作用。也就是说,c是需要被代替的,。那么S = ab/2与的关系是什么呢?通过这两个方程并不能把S与l联系起来(假设谁都不愿意去做那种会赔上半条命的运算),但是均值不等式却可以在此大展雄风了:

所以,当且仅当a=b时,等号成立。

在这里,正是均值不等式实现了l与S的沟通与联系,实现了a+ba2+b2ab之间的转化。在以前,这道题肯定会让许多人都累个半死,但当均值不等式为我们指出了一条新的思维方式,一条敢于变革既定法则的思维方式之后,此题的解法却又是何等简捷!

研究转化有什么意义?要知道转化是人类一切追求的共有属性。从为自然所迫的原始人类到未来的自由与幸福的超人类,这是一种转化;我们要从一个比较无能的人变成一个很优秀的人,也需要通过转化;我们从不幸福到幸福,还是需要转化。转化的成功与否是一个与我们休戚相关的问题。如何成功地实现客观世界的转化,是每一个有事业心的人共同关心的问题。然而,或许我们每个人都有的感受是,现实世界往往太复杂,我们常常失败,常常失望。是的,转化的失败常常给我们无比巨大的伤痛。虽然可以对自己说“穷且益坚,不坠青云之志”,虽然可以唱道“他说风雨中这点痛算什么,擦干泪,不要怕,至少我们还有梦”,但有时候,我们却还是会感到没有力量,还是会感到前途的渺茫与梦想的不可信,因为这些句子毕竟比较空洞。每当这时候,数学真理的明晰性以及数学所告诉人们的转化的可能性,都会给我以非常大的安慰与力量。研究数学问题常常会给大脑以很大强度的工作,因此它给人的提醒也会分外有力:世界是可以以恰当的方式转化的!每当我伤感于现实,并在自己的感情世界中苦苦希望时,只要去研究几个数学问题,我就会很快明白过来:自暴自弃、怨天尤人与感情发泄从来都不能解决问题,只有用头脑、用理性,才可能实现现实的转化;而一个人只要坚持理性,坚持真理,他也就会有足够的勇气去面对实现转化的过程中的种种困难!当然,数学给人的不仅仅是安慰与提醒,它还能在很大程度上提升一个人的素质,因为一个人性格与思维方式的缺陷在解决问题的过程中会非常明显地暴露出来,于是积极进取的人就能抓住这些缺陷并努力弥补它们。数学的这些作用,使我总觉得我们对待数学,不能仅把它作为一门必考的科目,而更应将它作为一位知心朋友,一位由真理构成的朋友,一位可以向你诉说宇宙的无穷奥秘的朋友。他不会指责与训斥你,但也同样可以指出你的弱点,让你不断超越自我。



 ①“超人类”见《第二次宣言》(王小平著),中国经济出版社。

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