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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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我与自然科学(上)

也许我早已无法说清自然科学在我心中的那种至美,那是一种一直以来都萦绕在我心中的复杂感情……

不知读者见到数学、物理、化学、生物时是否会有一种沉重感。但我是没有的,自然科学总让我倍感亲切。从我真正能体会什么是比喻时开始,我就一直将它们比作自己的好朋友。自然科学是至美的,那种美早已深入了我的内心世界,使我对自然科学产生了复杂而又深厚的感情。这种感情的深度甚至可以和爱情相提并论,因为对一个内心充满了现实中太多的伤痛的人来说,科学中思想的清晰与智慧的光芒同样可以像爱情那样拨动自己心灵的最深处。

    数学总会让我哲思飞扬,有时一道看似普通的题也会让我永远难忘。

曾经我做过这样一道题:

已知:A(x1, y1), B(x2, y2)是半径为r的圆上的两个动点,即x1, y1, x2, y2满足方程x12+ y12 = r2, x22+ y22 = r2P(a, b)是圆内一定点,且四边形APBC是矩形C点的坐标为(x, y)。求x, y应满足的方程(方程中只含有x, y, a, b, r,不含有x1, y1, x2, y2)。

读者有必要认真研究一下此题,以使我们的交流更容易。

所谓求x, y应满足的方程,其实就是将C点的几何特征用代数语言来表述,也就是几何语言与代数语言的转化。解析几何的特征之一就在于它揭示了几何与代数之间的某种等价关系。既然要将C点的几何特征用代数语言来表述,那么首先就要弄清C点的几何特征是什么。C点的轨迹(几何特征)是由哪些因素决定的呢?

题中最关键的恐怕就是四边形APBC是矩形,矩形能说明什么呢?首先,为使运算更简单,可考虑AB与PC相互平分,即有相同的中点,这时该四边形已经是平行四边形了。可列出方程:(x1+x2)/2 = (a+x)/2, (y1+y2)/2 = (b+y)/2。即

    x1+x2 = a+x        ①                        y1+y2 = b+y        

然后,由于有一个直角的平行四边形是矩形,因此,只需要再考虑∠APB是直角就行了。,所以

      (x1a)(x2a) + (y1b)(y2b) = 0

    即x1 x2 + y1 y2 – (x1 + x2)a – (y1 + y2)b + a2 + b2 = 0,

将①②代入,得

x1 x2 + y1 y2 – (a + x)a – (b + y)b + a2 + b2 = 0,               ③

但是,似乎事情还没有完,x1 x2 + y1 y2这一部分还需要消去,怎么办呢?看再列一个方程行不行。四边形APBC是矩形那么,∠CAP也应该是直角。因此

  (xx1)(ax1) + (yy1)(by1) = 0 

    即ax + by – (a+x)x1 – (b+y)y1 + x12+ y12 = 0

x12+ y12 = r2,由①②有

           ax + by – (x1+x2)x1 – (y1+y2)y1 + r2 = 0,

      即x1 x2 + y1 y2 = ax + by,             ④

现在,将④代入③,应该就能消去x1 x2 + y1 y2,从而得到最终答案了。

      ax + by – (a + x)a – (b + y)b + a2 + b2 = 0,

化简得…… 0 = 0 ???

这是怎么一回事??怎么出现了0 = 0这种情况??是条件不够么?

现在应该反思了。刚才的思路中,每一个已知条件都考虑到了呀,那么哪里出了问题呢?我们需要的是几何与代数的等价转换,那么我们的转换是完全等价的吗?重新再理一下题中的类函数关系,认清这道题的更深刻的内容。AB与PC的中点相同,已经说明了四边形APBC是平行四边形。∠APB是直角,就已经决定了四边形APBC是矩形。因此,∠CAP是直角这一条件是多余的。但是,多一个条件反而会使问题得不到解决吗?难道问题会出在这里?两个有用的直角同时用上会使各自的作用相互抵消?仅用方程①②③就够了?让我们试试看。

方程③化简后与方程④是完全相同的,方程④的推导过程只是一种无用的循环代换,半径为r这一条件还未真正用上。关键的问题是如何将x1 x2 + y1 y2这一部分消去。如何用①②两个方程得到x1 x2y1 y2这种乘积项呢?可将①②方程的两边平方,然后两式相加,即会出现x1 x2 + y1 y2

x12 + 2 x1 x2 + x22 + y12 + 2 y1 y2 + y22 = (a+x)2 + (b+y)2,

x12 + y12 + x22 + y22+ 2(x1 x2 + y1 y2) = (a+x)2 + (b+y)2,

2r2 + 2(x1 x2 + y1 y2) = (a+x)2 + (b+y)2,

将④代入,化简后可得到最终结果x2 + y2 = 2r2a2b2.

当第一次做到这里时,这道题实在是让我惊讶万分,之中渗透着的种种思想迎面扑来,让我感到不知所措,于是只得任思想澎湃,任它们在心里留下深深的痕迹。那些思想有的甚至与我以前的思想完全相反,但它们是正确的,我不得不震惊。

多用一个条件竟会使问题得不到解决,这会令多少人难以置信!生活中,我们常常做太多的准备,并总爱去抓住每一个可能有利的条件、机会,总以为好东西是越多越好,但这又是何等的荒谬!这道题警告着我们,有些东西的作用是会相互抵消的!用两个直角的最终结果只是0 = 0,两边都是零,拿来有什么用?只有恰到好处,不多不少,才能最有利于问题的解决,愿望的实现!

在以前,我总以为,只要将题中的各个量都联系了起来,组成了统一的整体,我们就能够比较容易地解决问题了。我相信这种解题思想是比较完善的。但这道题却让我深深地感到,没有什么理论可以用来解决所有的问题,唯有深入、具体而准确地研究现实世界的情况,才能得到解决具体问题所需要的真正智慧,人需要深入现实、贴近现实,这永远是大自然最深刻的哲理!是的,正是因为我们去深入探索了这道题的几何内涵,反思出了只利用一个直角才能准确地实现“完全等价”,我们才最终解决了问题。

第一次结识这道题以后,我便一直都不能把它忘记。在以后的岁月里,每当我在生活中面对让人难以理清的问题,面对不同人在某件事上因观念差异而产生的不同的精神痛苦,那个坐标图便会时常浮现在我心里,让我在眼泪中渴望着人们对世界的准确而深入的了解。现实生活中有太多的伤痛不是由于人们无情,而是由于有复杂感情的人们的认识的偏差。这道题所蕴含着的真理也便成了对我的感情的安慰与信念的支撑。人永远需要去准确地把握世界的本来面貌!

但人的认识能力又受到了多大的局限!当一位朋友因某种不解而要离我而去时,我竟无以让她感到我对她的感情是多么的深,她对我的世界是多么重要。于是,我只得承受失去她的撕心裂肺的痛苦。也许,这只能怪我相对太复杂了吧。但我是多么渴望她的理解,渴望她能明白理解我对她与我的意义,那道题也便给了我至高的精神安慰。

像这道题一样,许多题都从不同的角度给了我不同的启示。数学像是水面上的一只蜻蜓,总会在我的感情与理性复杂交织的心里激起层层波浪。

数学教会了我探索与逻辑推理,告诉了我自己的思想的种种缺陷,让我一点一点地认清自己,改进自己。著名哲学家赵鑫珊在《哲学与人类文化》中说过,科学是一种艺术,是人与大自然相互恳谈、相互对话的一种艺术。人在大自然的提示下产生某种想法,然后按照自己的想法去行动,这种行动便是人写给大自然的话。大自然则在人正确的做法上打上钩,错误的做法上打上叉,钩或叉便是大自然的一种语言。在人与自然的这种对话中,人们一点一点地认清了大自然的本来面貌与自身的种种缺陷。而数学也就是人与数学世界相互对话的一种艺术。每次我弄错了一个数学问题,我都会在因做了题而有的神经兴奋中笑着生气:“我又错了?!”然后,如果这个问题很深刻,我的思绪便会被那个深刻的东西全部占领,任它溶进自己的心灵。

数学也总会为我开启一个新的世界,它为我展示了一幅又一幅连绵不断的美丽画圈。数学展示了世界的数与形的奥妙与完美结合,也从不同的角度提供了对数与形的把握。解析几何是美的,它揭示了几何与代数的联系,揭示了几何真理与代数真理的某种等价关系。几何图形有表示它的代数式子,代数式子也有表示它的几何图形,数学家便这样将我们带入了两个世界连成的更为广阔的世界。而向量则从另一个角度以极为简洁的方式将几何与代数联系了起来,使得既有大小也有方向的几何量也可以以代数的形式参与运算!当引入向量的坐标表示以后,向量便登上了解析几何的舞台,于是又有一个新的世界诞生了。

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