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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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普遍适用的解题思想:整体性思维方式

2.3 类函数关系应用的例子

下面让我们回过头去,再次看看下面的例题。

【例 5】正方形ABCD中,AC、BD相交于O,DE // AC,CE = AC,CE交AD于F。求证:AE =AF。

如图,读完题,首先确定题中的类函数关系的类型。我们容易想到,题意相当于从正方形顶点D,作一条平行对角线AC的射线,再以C为圆心、AC为半径画弧交该射线于E。也就是说,本题的图形是完全确定了的(除了图形的大小),无论谁画出来,形状都相同。因此本题的类函数关系是定值关系。但如果少去一条件,比如少去AC = CE,将E点向DE的方向移动很远的距离,那么AF与AE就不会相等了,即是说,如果要做出此题,必须把所有条件都用上,否则我们的推理过程就会出现循环代换,得不出AE = AF。

AE与AF有什么相联系的地方,有什么共通之处呢?如果去找全等三角形,相似三角形或与AE、AF相等的另一条线段,我们经过一段时间的尝试,会发现这是行不通的。我们能想到可利用底角相等的三角形是等腰三角形来证明,即要首先证∠1 =∠2。由于∠1与∠2的关系是由其他条件决定的,所以我们就需要建立一个包含了∠1 =∠2及其他条件的类函数关系。比如,∠3+45°=∠2 = ∠1 =∠EAC= (180°–∠3)/2,∴∠3 = 30°。注意,∠3 = 30°在这里并不是被证明出来的,因为它的一个前提∠1=∠2 是还没有被证明的。你也可能列出其他方程,得到∠4 = 15°或∠1 = 75°等,但当我们为了证明∠1 = ∠2而去证明它们确实等于这么多度时,我们会发现它们不能被直接证明出来,最终我们还是会找到∠3这个等于30°的特殊角。

这时,∠3 = 30°就是AE = AF的解题等效量了。如何证明∠3 = 30°呢(这时不能用∠1 = ∠2了)?让我们看一下:

∠3+45°=∠2,                   (1)

2∠1+∠3 = 180°,              (2)

∠4 = 90°–∠2,                   (3)

由(1)与(2)得2∠1+∠2= 225°,由(1)与(3)有∠3+∠4 = 45°(这没用)!这里,如果我们把∠5或其他一些角也代入计算(不妨试试),我们仍然不可能得到∠1,∠2,∠3的新的关系(我是试了之后才得出这个结论的),这里又会出现循环代换。

这是怎么回事?难道我们还没有把所有条件都用上?现在有必要全面分析一下与∠3 = 30°密切相关的因素了。∠3 = 30°是显然成立的,否则要证明的结论AE = AF也就不成立。那么∠3是受了哪些因素的影响才等于30°的呢?是否还存在某些我们还未考虑到的东西?再读一遍题。我们会看到,E点和∠3的关系是极为密切的,那么它有什么特点呢?E点既是使CE = AC的点,又是过D点(而不是过OD上其他点)作的平行线上的点,D点有何特殊?∠3 = 30°,CE = CA,DE//AC这三者之间究竟有何关系(请结合图仔细想一想)?如果你对及平行线间的距离相等不陌生的话,你应该能想出作EG⊥CA于G,则EG = DO = AC = CE。从而∠3 = 30°,从而AF = AE。

当然,对于此题,如果你能在一开始就发现,只要作EG⊥CA,就能得到∠3 = 30°,从而∠3 = 30°就是CE = CA,DE//AC等一些条件的解题等效量,那么此题就容易得多了。但这种思路或多或少掺杂着一些“靠运气吃饭”的色彩。因为如果在开始时没有发现这一点,那又该怎么办呢?许多人的情况是,如果没有发现这一点,那么思路也就永远都打不开,心中的一切都会陷入混乱。对于每个人来说都一样,一时想不到或想错某一点是正常的,特别是对于我们初学者来说更是如此。因此,更重要的不是你是否能一下子就找到解决问题的关键,而是你是否能在一片茫然中突破思维所受的局限,找到这一关键。要做到后者所需要的,便是一种好的指导思想。

在上题中我们首先是建立AE = AF与已知条件的类函数关系,找到它的解题等效量,即∠3 = 30°,这是比较重要的一步。随后,为了证明∠3 = 30°,我们却陷入了一个没有意义的循环代换之中,这时,精力在无情地消耗,如果继续这样思考与运算下去,我们是注定要失败的。当我们想了一段时间后发现毫无进展时,就需要一种警觉:现在陷入循环代换了吗?这种思考是否忽视了某种还未被考虑到的东西?于是,思考点又换了。我们为寻找在隐蔽处制约着∠3的因素,又重新理了一下题中与∠3有关的类函数关系。这时发现,在“以C为圆心、AC为半径画弧”的过程中(此时假设E点为弧上动点,∠ACE随E变化。注:假设某个定量变化是确定类函数关系的常用方法,前面已几次用到),恰好画到DE上时,∠3的大小才定下来。DE有何特殊?这时便很容易联想到平行线间的距离(假设我们对此基础知识不是非常陌生),再加上30°这个特殊角的提示,作EG⊥CA于G已是很自然的想法了。由此可见,类函数关系的思考方法是一种很重要的指导思想,它在一步步突破思维所受的局限的过程中发挥了极为重要的作用。

由于类函数关系所具有的深厚的哲学背景,它已渗入了几乎每一门科学知识的学习中。它代表的是一种富有全局意识的思维方式,也是一种对各科的学习有着巨大促进作用的思维方式。这种思维方式的运用范围的广泛性,使得把它培养好成了很可能实现的事。每一天的学习中你都可以运用它,培养它,从而可以很好地利用它。

类函数关系不仅在解题中可以运用,而且在基础知识的学习中也可以运用,这是后话了。

 

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