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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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上一页:2. 类函数关系与整体性思维——实现成绩与素质的飞跃
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普遍适用的解题思想:整体性思维方式

2.2 对类函数关系的一些重要探讨

2.2.1 解题等效量

在一函数关系[x & y]中,我们通常可以用yx的代数式表示xy,即x = (y)或y = (x),即是说,如果我们得到了关于xab等等的一个类函数关系,我们就可以用(y)代替x,从而也就得到了yab等等的类函数关系。当然,用(x)代替y也一样。即(y)可以代替x,(x)也可以代替y。这时,我们就称xy互为解题等效量。另外,比如在△ABC中,∠C = 90°,∠A = 30°,那么可以推出a/c = 1/2,我们也可以称a/c = 1/2是∠C = 90°,∠A = 30°的解题等效量(这里不一定要有“互为”;或许,两者也不可能完全等效。完全等效至少要是等价,即用“Û”表示)。这里说到的“量”,不只指数量,也包括“∠C = 90°”这些条件或结论。有相互推出关系的量一般都可视为解题等效量。上面提到的物理题的解题思路中,我们是怎样去找VFN之间的具体的函数关系的呢?我们容易想到,F是随V的变化而变化的,因此FV的解题等效量。只要在受力分析之后,列出一个与FN = 0有关的关于F的方程,我们也就得到了VFN的类函数关系。其实,把握好了解题等效量,我们解决问题时的思路是可以有较大的简化的。

2.2.2 相通相运算原则

相通相运算包含了两层意思。第一,若干事物要能相互运算,它们之间必须具有某种相通的东西。比如说,中国改革开放以来,GDP的年平均增长率P与圆的面积S之间在一般情况下无共通之处,因此它们一般是不能相运算的。第二,如果要对某些事物进行运算,我们必须首先找到它们之间的内在联系,找到沟通它们的桥梁即共通之处。找不到这个共通的东西,我们是无法解题的。因此,解题的关键之一就是寻找那些共通之处。

【例 4】若扇形的面积S一定,那么当圆心角α为何值时,扇形的周长C最小?

本题所含的类函数关系以及各数量之间是怎样相通的呢?只要我们脑中能呈现出一个扇形,再看到SαC,我们很容易能想到半径r与弧长l能把SαC联系起来,是它们相通的媒介。那么,接下来就要具体找到lr如何与题中的量联系起来的。题中说S一定(S = lr/2),即得到了rl的函数关系[r & l],rl互为解题等效量,因此联系SαCrl只需考虑r就够了。那么rαC的关系是什么呢?S一定时α的大小与C的长短都是随r的变化而变化的(想一想这一变化过程),于是得到函数关系[r &α]与[r &C],所以rαC的解题等效量。而C又是一定的,要取最小值,即r便可求出了,α也随它的解题等效量r的确定而确定。

略解:由S = lr/2有l = 2S/r(这即是[r &l],从而l便可用(r)代替),

C = 2r + l = 2r + 2S/r(这即是[C &r],C变时r也变,C取最小值时r也取某一定值,接下来求这一定值)。

可求得此函数在(]上递减,在上递增,

∴C取最小值时,,(接下来求此时α的值,通过[r &α]来求)。

,(其中

    =

相通相运算原则启示着我们,寻求各事物之间的联系是解决问题的关键之一。在苦苦寻求以致希望都快破灭时,“事物是普遍联系的”这一深刻的哲学思想,无疑将为我们带来暗夜中的那一道希望的曙光,并坚定我们的信心。当你在生活中被一些难以解决的问题困挠时,想一想:你所见的各种情况之间的内在联系是什么?是否还有你未了解而需要了解的某种联系?遇到问题时你是否会想到这两个问题(要知道人在现实生活中的思维往往不会很活跃),将决定你是否有更大可能取得成功,这正符合“认识世界(的联系)才能改造世界”的哲学思想。相通相运算原则在数学等学科的学习中的运用,正是为了培养寻求联系这种思维方式与习惯。上面这道题中,我们正是首先寻找了SαC之间的联系:它们都与rl密不可分。

2.2.3 同一类函数关系中各量的循环代换

在上一例题中,不考虑C要取最小值,由于lCα都与r是解题等效量,所以lrCα中,每两个量之间的关系也都是解题等效量,都是函数关系。那么,如果对下列三个方程进行相互运算,我们能得到什么结果呢?

 (1)             C = 2r + l   (2)                                (3)

极有耐心的读者可以试一下,比如由(2)得l = C - 2r,代入(1);由(3)得,代入(1)……但是,无论我们如何代换,只要我们得到了[l & r]1,我们就不能得到[l & r]2,因为如果有[l & r]1且[l & r]2,我们便可解出lr了,这显然是不可能的。同样的,对于[l &α],[α&C]等也一样。这样,这种代换实际上就成了一种循环的代换,我们从[l & r ]开始,最终还是会得到实质上相同的函数关系[l & r ]。我们并不会因为在这种极为复杂的代换过程中付出了大量的劳动而得到我们想要的回报。上题中,如果一直代换下去,我们也并不会求出我们想求出的α,因为我们还没有考虑C要取最小值这一条件。

一般地,如果我们知道了ab的函数关系[a& b],另外还知道c = (a & b)1d = (a & b)2e = (a & c)……(注意,每增加一个方程,都增加了一个未知数。)这时,我们可以把cde等都叫做从ab引申出来的量。虽然,我们可以把abcde等进行一些极为复杂的运算,但这些运算并不会为ab的关系带来什么可喜的新变化(不考虑新增加方程时,为使这些方程有意义而可能引起的ab的取值范围的变化),ab的关系仍然是[a& b]1

不过,假如abcde等与现实世界联系起来了的话,这种运算也许能带来某些美妙的东西。比如,公式的运算可消去时间t,得到,这样,即使不知道时间t,我们也可以解决速度、加速度与位移之间的问题。

显然,从已有的这三个方程组成的类函数关系中,我们不能得出需要的α的值,于是就需要再给已有的类函数关系增加一个条件,即C取最小值,正是由于这个条件的作用,α才最终确定下来。

同一类函数关系中各量会出现循环代换这一事实警告着人们:由于循环代换一般不会出现什么新的东西,因此陷入循环代换中多半只是在浪费时间。但这种无多大意义的循环代换,却时常将我们卷进去。能够解决的问题由于在解决的过程中出现了循环代换而不能解决,这多半是由于还未找到某种很隐蔽的必要条件。时常有同学来问我题,其中不少时候他们做不出那道题仅仅是由于他们没有看到题中的某个已知条件!这些必要条件、已知条件是存在于你已想到、找到的那个类函数关系以外的,你需要找到它们,将它们统一到已找到的那个类函数关系里来。

但这并不是易事,因为你要寻找的是你并不了解,甚至想都没有想到过的东西,是你意识之外那个模糊不清的世界里存在的东西,就像晚上在家里的灯光下看到的窗外那些昏暗不清的东西一样。这需要一种灵活、开放的思维方式,时常反思自己的思想所存在的局限的思维方式,与时常探索自己不了解的东西的思维方式。

在解决现实生活中的问题时,无多大意义的循环代换更值得关注,因为它的结果不是做不出一道题,而是损失更重大的东西。你是一名学生,假如你抗争在无数的痛苦之中,你是否想过,你的思想是否只是在几件事上不断循环,有些伤痛是否是不必要的,它们会随着你的视野的开阔与注意力的转移而减弱?如果你的学习只满足于听那些只应付考试的老师所说的,你是否想过,你的思想只是在考试的指挥棒下循环地转着圈子,从而使你未能注意到自己的能力的缺陷,未能注意到各种压力与竞争很快就要摆到你面前?如果你是一位老师,时常头痛于班上的工作难办,你是否想过,你的思想只是循环于自己已有的教学理论与自己已知的学生的思想、状况?所有的教育理论的创新,都来自对学生的思想感情与思维方式的更深一步的认识,因此老师的这一循环是无用的。如果一个人耗尽毕生心血致力于解决某一问题,但他却因陷入了一个复杂的循环里而始终不能完成心愿,这又会是多么大的一个悲剧!清末顽固派的思想循环于几千年所建立起的封建体制,一代豪杰毛泽东在建国后的思想循环于阶级斗争,他们在随后的实践中都没有取得多大的成功。每一个人的思想都会或多或少地陷入一些无意义的循环之中,这有一点是由于思维的惰性与思想的封闭,还有一点是由于没有反思自己的思想的局限、反思其是否全面的这种思维方式与习惯。因此,训练与培养这种思维方式与习惯是必要的,这也正是理科的学习中需要去做的。我们应该学着让自己的思维从同一类函数关系中的循环代换中解放出来。

相通相运算原则说的是解决问题时思考的关键就在于如何将各已知量与欲求量联系成一个统一整体,而循环代换所告诫的就是如果没有做到将所有量联系成统一整体便不会出现好结果。因此,运用类函数关系所训练的,正是这种从整体上把握问题的全面的思维方式。这种思维方式可以表现为一种全局意识,也就是领导者的一种素质。

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