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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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普遍适用的解题思想:整体性思维方式

2. 类函数关系与整体性思维——实现成绩与素质的飞跃

2.1 什么是类函数关系

类函数关系这个词是我生造的,从它出发,我们将得到一套学习知识和解决问题的十分有益的方法。类函数关系指的是事物(主要指与数学有关的事物)之间的相互联系、相互制约与相互影响的关系。这些事物可以是两个或两个以上的,并且也可是数、形、判断等,这种关系也没有“唯一的元素与之对应”的要求。因此,类函数关系虽然包括了函数,但它所指的东西要比函数广得多。

许多同学都苦于哲学好学但不好用,用它来指导生活显得很困难。这其实主要是由于现实生活的一件小事都需要大量时间才能发生完,使得人在很长的时间里都缺乏运用哲学的机会。类函数关系这一节内容就是为了能决这一问题,冲破文理科的界限,使文科与理科的学习相互融合,相互促进,哲学便可以在理科中运用了。其实,理科的学习需要以文科作为指导,这样思路才会放得更开,创新能力才能得到培养;文科的学习也需要理科作为它的深刻的背景。绝大部分文化伟人都是文理科的全才,便能很好地说明这一点。我所说的类函数关系,正是哲学在数学等学科中的具体运用。高二的同学多半都知道,类函数关系的定义所描述的,正是这个矛盾着的世界的对立与统一的关系。由于哲学的指导作用,类函数关系这一概念的引入与研究也将大大提高我们做理科方面的题的能力。

类函数关系所包含的东西是极为广泛的,它可以是电阻、电压与电流的关系,可以是圆的半径、弦长与弦心距之间的关系,也可以是一块石头从山上滚下时,石头刚开始滚的那下瞬间的状态与它最终的状态及位置的关系,还可以是三角形中,两腰相等与底角相等这两件事之间的关系。正是由于类函数关系的广泛性,它才能够帮助养成普遍适用的思想方式,并使得在面对新问题时的创新性思想成为了可能。

类函数关系可以是方程,也可以是不等式,或者是其他的。如果是关于xy的一个方程,可以用[x&y] 表示;若是不等式,可以用< x&y >或≤x&y≥表示。其中的&是“和”、“与”的意思。另外,这种表示可加角标,如[x&y]1,[x&y]2,它们分别表示xy的不同的类函数关系。我们也可把[x&y]1变形,比如把x + y – 5 = 0变形为y = x + 5,但由于其实质没有变,所以我们不能新加脚标来表示。几件事组成的类函数关系也可表示为[第一件事&第二件事…]。这里还特别规定,关于a的代数式可用(a)表示,关于ab的代数式也可用(a & b)来表示,(a),(a & b)也可加角标。这些表示方法将使我们的思维过程得到大大的简化,关于xyz的方程,即使复杂得能把每一个人吓倒,也只需用[xy & z]就能轻松地表示出来。

在某一类函数关系中,各个事物是如何相互联系、制约与影响的呢?在我看来大致有三种情况。第一,定值关系。就是说各个事物被基本确定下来,比如在由两个关于xy的二元二次方程组成的方程组中,xy都被确定下来,成为我们可以求解出来的数值;但又很可能不只有唯一的解,因此这里称为基本确定。第二,函数关系。在一类函数关系中,如果我们能从中找出两个事物,其中一个变化,另一个也以相对确定的方式随着变化(这里与前面说到的数学中的函数略微不同,没有“唯一的元素与之相对应”的要求,只要我们能够求解出对应的元素就行),那么这两个事物的关系就是函数关系。第三,无规则关系,如果两个不是定值关系的事物之间没有一个事物随另一个事物的变化而变化的关系,它们之间的关系就是无规则关系。这三种关系常常是可以相互转化的。比如,两个关于xyz的三元方程,常常可以通过运算,得到三个二元方程,从而便得到了xyz中任意两个的函数关系。再添入一个新方程便可以得xyz的定值关系。从上面的定义可以看出,我们并没有对三种关系作完全严格的区分,而只是以我们的思维直观地把握一个关系的难易程度对其进行界定,这有助于简化我们的思维与问题的解决。

知道这些概念有何意义?哲学告诉我们,事物是普遍联系着的。在与数学有关的事物中,这种联系就表现为某种类函数关系。对于一道题,在许多时候,我们还不用具体去推理,就可以凭生活经验、灵感、直觉、猜测甚至想当然的意识,比较容易地发现事物(比如物理量、数、形)之间存在某种类函数关系,并判断出它属于定值关系、函数关系、无规则关系这三种关系中的哪一种;然后,我们一般就可以运用学过的基础知识,把这种类函数关系具体是什么弄清楚。这样,我们就能解决此题了。这种对类函数关系的把握,简化了对一些细节问题的考虑,这实际上也就是一种从整体上把握问题的思维方式。下面我们动手试一试,从而熟悉这些概念,并为后面的讨论打下基础。

【例 3】如图所示,质量为M的支架放在水平桌面上,支架上用长为L的轻线系着一质量为m的小球。(1)把小球拉到A位置,然后释放,已知小球在最低点的速度为v,求此时支架对桌面的压力;(2)若小球以O点为圆心作圆周运动,且小球到达最高点时,支架对地面恰无压力,求此时小球的速度V

对于此题,我们可以从番号(1)前的题干看出,整个物质的装置都是一定的,又容易“想当然”地看出,小球运动到最低点时支架对地面的压力还与这时小球的速度有关(速度变化,压力也就会变化),而这个速度又是一定的,因此整个类函数关系是定值关系,所以我们应该能求出压力了。我们可以先把两个重力相加(mg + Mg),再加上离心力F = mv2/L。注意,我这里说的是答题前的思考,因此用不着很规范,但答题时需要注意规范。

整道题中各个量之间的关系是类函数关系,而如果题少去某个条件,各个量之间的关系通常也还是类函数关系,只是它是哪一种类函数关系一般情况下会改变。对于(2)题,我们让小球以某一速度按题意圆周运动起来(假定这个速度不是一个定值,暂不考虑“对地面无压力”,因为我们读题还没读到这句),可以看出,小球在最高点时,随着其速度V的变化,支架对地面的压力FN也跟着变化,速度越快,小球在最高点时对下面物体的拉力就越大,FN就越小。VFN之间存在着一函数关系。而题中又说此压力是一定的(等于0),因此小球的速度也被确定下来。

我们知道了VFN之间存在着某种函数关系,那么接下来就要去研究它们之间的关系具体是什么。如图,无压力就是说O点与小球之间的拉力恰好把支架提起来,

F = Mg

F = mg + F(向心力是合力),

F = mV2/L,∴mg + Mg = mV2/LV便解出来了。

另一种思考是,只要我们得到了V与已知量之间的类函数关系[V & 已知量],那么解出V就行了:

mg + F = mg + Mg = F = mV2/L

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