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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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上一页:5. 学好数学还需要有研究的主人翁精神,需要更多良好的性格与思维方式,需要综合素质的提升
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普遍适用的解题思想:整体性思维方式

从函数出发,我们将引入类函数关系的重要概念。它所要描述的,是与数学有关的事物的相互联系、相互影响与相互制约的关系。它会让我们习惯一种从整体上把握问题的思维方式,提高我们解决理科方面的问题的能力,并能让我们更好地理解哲学,习惯一种更科学地面对其他问题的普遍适用的思维方式。这种思维方式既是独立与创造性思维的关键之一,也是素质教育需要培养的基本思维方式之一。

1. 函数的遐想

为什么在函数中,一个y值能对应多个x,而一个x值却不能对应多个y?在变化着的xy之间,法则f是什么?函数的提出是奇丽的世界向人类的又一次美好的展示……

函数是这样定义的:对于A、B两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么B就是A的函数。函数也可以这样定义:在某一变化过程中,两个变量xy,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的(即唯一的)值和它对应,那么y就是x的函数。这种关系一般用y = f(x)来表示。

首先解释两个问题。

y = x2(xR)中yx的函数,因为,虽然函数y的每一个值(除0外)都有自变量x的两个值()与之对应,但自变量x的每一个取值在平方后都只能得到唯一的y值。而y=±2xy却不是x的函数,因为自变量x的每个取值(除0外)在通过相应运算后都会得出y的两个值。那么,为什么值域中的一个元素(y)可以对应定义域中两个或两个以上的元素(即可以),而定义域中的一个元素(x­­)只能对应值域中的一个元素(即不能)呢?这可能与提出函数的数学家的美学追求有关。我们考虑函数y = f(x)时(假设x的取值足够多),首先是让x开始变化,在此过程中,通过法则f的作用,y就随着x的取值的变化而取出相应的一个值来,即使x取遍了定义域中的所有值,y也都有相应的唯一的值与之对应,也就是说,x的取值决定着y的取值,x的变化控制着y的变化。x的每一个取值都能得到相应的y,这体现了x能控制yx的每一个取值都能得到唯一的y,这体现了xy的控制力的强大与可靠。数学的追求之一,正是要通过一个因素来控制另一个因素,通过对一已知的东西的确认来得到对另一未知的东西的确认。比如三角函数y = Asinωx正是通过角度来实现的对长度的控制,自由落体运动中的v = gt正好使人能够通过对时间t的测定来得到对下落速度v的确定。因此,y值的唯一体现着人的控制力与推知能力,能使人感到一种可靠、单纯与和谐,y值的唯一正是一种美好的理想境界。因此y值的唯一是需要的。

设想我们乘坐一种飞船,穿行在星光闪闪的太空中。我们进入了叫做定义域的一个神奇的区域,从此,星光消失,眼前的景象异乎寻常,像是行走在灌木掩蔽了身体的森林,又像是穿梭于密密层层的珊瑚。璀璨的光辉弥漫了空间,但一切色彩却都是变幻不定。迷路是很自然的事,因为任何人在这变幻不定的光辉里,都不能辨清方向,确认自己所在的位置。我们在定义域中自由自在地飞行着,却丝毫没有担心如何回去,因为伴随我们的还有一个机器人,它能根据某种特定的法则以及我们在定义域中的经历,计算出我们原来的世界的方向和位置(比喻值域中y的值),从而我们便能确定如何回去的路。但假如计算出的结果是,我们原来的世界有可能在两个(不谈两个以上了)不同的方向与位置上,那么我们怎样才能回去呢?恐怕我们就只有恐慌了,因为对归路的错误选择将可能使我们永远迷失在这一区域中!

我们关心的是通过x来控制y,而不关心值域中的y值是否由定义域中唯一的x来决定,因此这种对应是可以的。况且,谁又不希望对一事物的控制有多种途径呢?

在变化着的xy之间,法则f又是什么呢?它是变化中的一种不变的秩序,代表着两个数集的一种关系。它就好像斗转星移之间那种永恒不变的万有引力定律,又好像生物的不断进化之中“物竞天择,适者生存”这种永恒不变的规律。y = x2这一函数之中,xy处于一种永恒的变化之中,而永恒不变的,正是y等于x的平方这一法则,这一xy之间的关系。函数的提出似乎正是为了向人们阐明一种哲理:纷繁复杂的万物的变化之中,总是存在着一种不变的法则与秩序。人们将这种法则与秩序称作规律。牛顿的F = am揭示了物体的受力与运动变化的关系的规律,爱因斯坦的E = mc2揭示了质量与能量相对应的规律。函数,正是要参与对这些规律的解释之中。

此外,对于函数y = –f(–x + 1) –2,我们有时可以干脆点儿,就把它看作y = g(x),其中的f,+1,–2等,就看作法则g的一部分。如果y = –f(–x + 1) –2中,f(x)的定义域为(1, 5),那么就有–x+1∈(1, 5),而不是x∈(1, 5),因为法则f可能包含了除法、开方或实际问题等,f(x)要求括号里的这个整体始终满足一定的条件。

函数的提出是奇丽的世界向人类的又一次美好的展示。这是因为,函数的提出使人们从研究一些具体的计算问题,转向研究两个变化的过程。比如,单调性研究的是函数值的大小变化的趋势,奇偶性与周期性研究的则是变化的全过程中的对称关系与反复。函数的思考点已上升到要从整体上把握问题的高度,它处理的已不再是两个数,而是两个数集,两个集合。函数还研究两个不同的事物(xy)之间的关系(联系)。事物是普遍联系的,一事物的发展变化总要制约与影响另一事物的发展变化或者受其影响,这正是函数y = f(x)所要体现的东西,也是人类需要去具体认识,从而能很好地运用的东西!当人类运用物理、化学、生物学中的函数关系创造出现有的辉煌并将继续创造出辉煌时,这一切又是多么令人兴奋!

我要着重讨论的,正是事物之间的这种相互联系、制约与影响。但我并不想局限于函数,而是将涉及一种对学习更为有用的东西,这便是接下来要谈到的内容。


 

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