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一、讨论素质教育的理论准备 二、课堂教学的素质教育化:解题能力与创新思维的培养 三、走向素质教育的关键:素质教育概论

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感知数学中的美

对于各科知识,比如数学,如果我们不仅从知识的角度去理解,而且也从美学的角度去体会与感受,那么我们对它们必定会有更深刻的理解,更准确、长久的记忆与更灵活自如的应用。这既是提高学习兴趣的需要,也是提高学习成绩与实现素质教育的需要。因此,让我们一开始就来简单地感知数学中的美。

其实,各门自然科学都是存在着许多美的,这里为了简便,只说了数学。

什么是数学?数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它用无比准确的形式描述着这个缤纷多彩的世界。众多的物理、化学定理中,有几个不是带有浓厚的数学味?在人类悠悠的历史长河中,为何会有数不尽对数学如痴如醉的人儿?其实,这正是人们对真理与美的如饥似渴的追求!古希腊人对数学真理的追求,也绝大部分是来自哲学与美学的,他们坚信,“冥冥之中最深处宇宙有一个伟大的、统一的、而且简单的设计图,这是一个数学设计图”(见《数学与文化》,湖南教育出版社)。

什么是数?比如,我有3个橘子,时间是3点了,蔚蓝的天空中飘着3朵白云……但是,什么又是3?谈到“3”的时候,你脑子里面想到的是什么?三个亮点?一条弯弯的小河?一只耳朵?倘若是猪耳朵,炒成菜倒还可以,但真正意义上的3难道会是这些东西???究竟什么是数?还是让我们请教请教《现代汉语词典》。“数:数学上表示事物的量的基本概念。”它兜了个大圈子,居然用量来解释数!诚然,数是概念,而概念本身就是抽象的,很难形象地想象出来,但是,“颜色”这些概念所包括的东西是有限的,而数却是无限的!人是如何学到了这么多的东西,并且只用10个数字以及少数一些符号便准确地表示出了这一切?数学之基础便如此抽象,而人类也如此聪明,这真让人无言以对,无限感叹。

数的作用好像远远不止表示事物的量这么简单。电脑里只用了两个数字0与1,竟表示出了声音、图象、文字等所有信息!

另外,数还与形有着某种天生的联系。你看勾股定理,∠C是直角竟然能够推导出a2 + b2 = c2!解析几何更是指出了数与形之间的奇妙的关系。当开始学直线(不与x轴垂直)的方程y = kx + b时,我还不认为笛卡尔有什么了不起的,因为这太好想象了。但是,当知道k = tanα时,我再次无言以对了。一边是一次方程的系数,它的出生应该与图形没有任何关系吧?另一边只是图形生下来的三角函数,然而,两者却有如此紧密的联系!这是宇宙鬼斧神工般的造化,还是数学家匠心独运的创造?

再看一看二次函数y = ax2 + bx + c及其图象。这是一条怎样的曲线呢?它上面的任何一点(x1y1),都满足方程y1 = ax12 + bx1 + c。但是,这无数多个点,为何恰好组成一条对称、平滑、统一、和谐的曲线呢?为什么这条曲线不突然断开?难道,这就是物以类聚?或者,它们也懂得要有团结的精神?它们也有审美观念?这是否说明了质变需要来源于量变的哲学观念?△=b2-4ac又是什么呢?为何它能决定方程ax2 + bx + c = 0是否有根,决定这条曲线与x轴是否有交点?是谁授予了它如此神圣的使命?再来看一看这条曲线的名字:抛物线?!其实,不考虑空气阻力,我们任意斜(或平)抛出一个物体,它的运动轨迹都是一条抛物线!并且,只要在该抛物线所在平面内,以水平方向为x轴建立直角坐标系,这条抛物线也完全能用二次函数表示!难道,这仅仅是巧合?

在坐标内,不仅直线、抛物线有它们的表达式,行星运行的轨道有它的表达式,月亮有它的表达式,就连水上的涟漪也有它的表达式!

圆又是什么?圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。圆就只有这一个特点?为何直径所对的圆周角会是直角?为何等弧所对的圆周角都相等?数学真理所包含的东西实在是太丰富了,我只得不断地提醒自己,要谦虚一点,探索的意识要再强一点。

大家可知道椭圆应该如何画(不是尺规作图)?平面上的动点A到两个定点F,F′的距离之和等于一个大于F F′的常数时,这个动点A的轨迹就是一个椭圆。(右图中F、F′处各有一钉子,FAF′是一条绵线。)F,F′叫做椭圆的焦点。但是,为何把一个圆压缩一下,得到的图形也是一个椭圆?更神奇的是,右边的椭圆是用绵线画出来的,但为何行星绕太阳运行的轨道也是椭圆,并且太阳恰好在其中一个焦点上?要知道,行星与太阳之间的联系是万有引力而不是绵线!难道,万有引力等效于绵线?但是,另一个焦点上却没有第二个太阳呀!

数学应该是宇宙的一部分,并且是闪烁在整个宇宙中的神奇的瑰宝!对面如此神奇与美妙的世界,我真想以飞快的速度狂奔起来,以使我能飞入太空,让宇宙灿烂的光辉都闪耀我的身旁,让宇宙神奇美妙的精灵都充溢在我的心间!我也真想飞进大海,让洁白的浪花与清爽的海水将我冲洗得干干净净,然后我将飞向天空,在如此神奇美丽的宇宙中没有任何一丝的惭愧!亲爱的朋友,我愿将那份纯真的友谊寄托于整个宇宙,让它永永远远在神奇而美丽的光辉的照耀下璀璨夺目,浓厚芳香!

我应该控制住自己的激情,带大家再去看两个例子。

世界是普遍联系着的,并且某些联系非常紧密。比如千差万别的事物上,常常能找到某种相似的东西。我们学习了物理上的匀加速直线运动和数学上的等差数列,但不知大家是否注意到,voa1tnadvtanSSn之间存在着非常相似的东西。请看公式:

vt = vo + atan = a1 + d(n-1)及am = an + d (m - n);

S = t (v0 + vt) / 2与 S = n (a1 + an) / 2;

S = v0t +at2 / 2与Sn = a1n +dn(n – 1) / 2;

S2S1 = aT2S2S1表示连续相等的两段时间中的位移)与Sn+1~2nSn = dn2

大家对这种奇妙的联系有何感受?难道匀加速直线运动与等差数列是孪生兄妹,具有相同的性质?

数列–1,1,–1,1,–1,…的通项公式是an=(–1)n;1,3,1,3,1…的通项公式是an=(–1)n+2;2,1,4,3,6,5,8… 的通项公式是an = (–1)n+1+n。对于这三个数列及其通项公式,大家是否有什么发现?(–1)n或(–1)n+1是什么?它是一种单纯,一种每天都有的日升日落式的反复,就像是海浪一次次轻轻地吻着沙滩一样,这便是第一、二个数列;那么第三个数列呢?第一、二个数列纵然是美丽,但也不免有些消极,它们不能使人们看到一种进步;而数列三却全然不是这样,它能让我们很自然地联想到这样一条真理,历史是在曲折中前进的!反复与复辟又能怎么样呢?它能阻挡住历史发展的洪流吗?我常常因失败之后的再次失败而心灰意冷,十分沮丧;但是,当我在数学中看到这样一个数列,我的内心受到了多大的振奋!我不禁被这个数列深深地吸引住了。诚然,历史的发展要比这个数列复杂得多,但数学毕竟只是一门自然科学(至少《现代汉语词典》上这么说),然而它竟能把历史的发展描述得如此绘声绘色!这不能不说是一个奇迹。

在这个数列中,(–1)n+1为数列提供了+1与–1的无限反复,而+n则为数列的向前发展提供了永不枯竭的动力!由于世界是普遍联系着的,我不禁会想,是否其他一些像这样曲折前进的数列也可以用这样一个通项公式来表示呢?

请看下面这道题:求数列1,3,2,4,3,5,4,6,5,7…的通项公式。

对于这一个问题,我们应当如何考虑呢?显然,这也是一个描述在曲折中前进的数列。我们最好先考虑它前进的总趋势是怎样的,再看它是怎样反复的;而不先考虑它怎样曲折、反复,后考虑它发展的总趋势。因为如果没有看到事物发展的总趋势,而仅仅从某些局部的情况(如怎样反复)入手,常常不能正确地分析问题。这就好像一位领导者领导一个企业、单位、组织或者一方百姓,他要面对的首要问题就是这一企业、单位、组织或者这一方百姓的历史、现状与前途的问题;又好像评价一部作品,必须顾及全篇,而不能仅凭自己对它的某几个观点的喜欢或讨厌就说它是好是坏。

这个数列前进的总趋势是怎样的呢?当然,考虑它的总趋势不必把它的每一个数都考虑到。这个数列可以看作是:1,a,2,b,3,c,4,d,5…它每两项前进了1,也就是平均每一项前进了0.5,在通项公式中就表示为+0.5n。

它又是怎样反复的呢?

我们可以从前面那个数列(即an = (–1)n+1 + n)得到启示,这个反复需要由(–1)n(–1)n+1来提供,这里需要确定系数p的取值。第一项1 = 0.5×1+0.5,第二项3 = 0.5×2+2,第三项2 = 0.5×3+0.5,第四项4 = 0.5×4+2…可以看出,它是以0.5乘以n为发展的总趋势,并在+0.5与+2之间反复。

但+0.5与+2不能简单地用(–1)n(–1)n+1来表示,那该怎么办?当然这也不是很难,我们可以从1,3,1,3…这个数列的通项公式an = (-1)n + 2来推知+0.5与+2之间的反复。因为 (0.5+2)/2 = 1.25,而0.5 = 1.25 – 0.75, 2 = 1.25 + 0.75,所以+0.5与+2之间的反复就可以表示为+1.25 + 0.75 (–1)n

那么我们能写出这个数列的通项公式了吗?an = 1.25 + 0.75 (–1)n + 0.5n,检验一下可知,我们居然成功了!当然,我们的成功主要是利用了两个数列之间的奇妙的联系:它们都是前进性与曲折性的统一。

以上这道题是我在看了前面几个通项公式后,因为对那个奇迹的感叹而自己随手写出来的,我当时并不确定自己能否求出它的通项公式来。由于本来就很惊讶了,因此,当把它的通项公式求出来时,我便更加惊讶与兴奋了。我不禁想,宇宙中错综复杂的事物之间当真就如某些哲学家说的那样,有着简洁的规律吗?(要知道,以上这些通项公式正是复杂无止尽的数列的内在规律性简洁的体现; F = am正是力、加速度与质量在数量上的规律,你只要想想我们见到的任何一种力与运动的关系,不管有多复杂,都会被它包容其中,你便能感到它是多么的简洁!)而数学又被几乎全世界的数学家毫不羞愧地称作是人类智慧的结晶,那么人类又真的能利用自己的这一智慧的结晶来认识清楚宇宙,来把握住宇宙吗?我记得当时的数学课后是体育课,老师叫我们自由活动,我独自一人漫步在操场上,仍被数学中的疑问与魅力所强烈控制着。我好像是乘着风,飘飘欲仙,哼着那支叫做《春江花月夜》的清新、荡漾的琵琶曲,完全沉浸在对宇宙的和谐与奇异的朦胧而美妙的感受中……

数学世界有太多太多的美,我这里讲到的也只不过是浩瀚大海中的几颗小小的贝壳,远没有穷尽美丽大海中的一切。当然,要更多地体会到数学中的美,不能只去多学数学,而需要提高一个人的综合素质,比如可以提升自己的感情,可以多去接触文学、音乐、美术、历史、哲学、物理学等等,特别是要去查找资料,了解一下人们对数学的探索史。

把美学运用于数学的学习中,不仅可以将枯燥的学习变得有趣,而且还可以使我们的思维得到改进,这一点将在以后谈到。另外,把向难题挑战或学到知识当作一种快乐,对提高学习兴趣与搞好学习也是很有好处的。

 

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